Física - Electrotécnia

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Apunte de electrotécnia: Métodos de resolución de circuitos. Sistema de mallas. Medición de tensiones en C.C. Ejercicios resueltos.

Métodos de resolución de circuitos

Sistema de mallas

Ejemplo 8: determinar las incógnitas de todo el circuito.

V1 = 20 V V4 = 20 V

V2 = 30 V R par = 10Ω

V3 = 10 V R impar = 5 Ω

(1) V₁- V₂ = I₁.(R₁ + R₂ + R₅) - I₂.R₅ - I₃. 0

(2) V₃ = I₂.(R₄ + R₅ + R₃) - I₁.R₅ - I₃.R₃

(3) V₂- V₄ = -I₁.0 - I₂.R₃ + I₃.(R₃ + R₆)

Reemplazando:

(1) 20 V - 30 V = I₁.(10 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - I₂.10 Ω- I₃.0

(2) 10 V = I₂.(5 Ω + 10 Ω + 10 Ω) - I₁.10 Ω- I₃.10 Ω

(3) 30 V - 20 V = -I₁.0 - I₂.10 Ω + I₃.(10 Ω + 5 Ω)

(1) -10 V = I₁.25 Ω- I₂.10 Ω- I₃.0

(2) 10 V = -I₁.10 Ω + I₂.25 Ω- I₃.10 Ω

(3) 10 V = -I₁.0 - I₂.10 Ω + I₃.15 Ω

1) Determinante de todas las incógnitas = Δ

Δ=

25Ω -10Ω 0Ω

-10 Ω 25 Ω -10 Ω

0 Ω -10 Ω 15 Ω

Þ Δ= (9.375 + 0 + 0) Ω³ - (0 + 1.500 + 2.500) Ω³Þ Δ= 5.375 Ω³

2) Determinante de I₁ = Δ₁

Δ1 =

-10 V 10 V 10 V

-10 Ω 25 Ω -10 Ω

0 Ω -10 Ω 15 Ω

Þ Δ1 = (-3.750 + 1.000 + 0) VΩ ² - (0 - 1.000 - 1.500) VΩ ² Þ Δ1 = -250 VΩ ²

3) Determinante de I₂ = Δ₂

Δ2 =

25 Ω -10 Ω 0 Ω

-10 V 10 V 10 V

0 Ω -10 Ω 15 Ω

Þ Δ2 = (3.750 + 0 + 0) VΩ ² - (0 - 2.500 + 1.500) VΩ ² Þ Δ2 = 4.750 VΩ ²

4) Determinante de I₃ = Δ₃

Δ3 =

25 Ω -10 Ω 0 Ω

-10 Ω 25 Ω -10 Ω

-10 V 10 V 10 V

Þ Δ3 = (6.250 - 1.000 + 0) VΩ ² -(0 + 1.000 - 2.500) VΩ ² Þ Δ3 = 6.750 VΩ ²

Luego:

I₁ = Δ₁/Δ Þ I₁ = -250 VΩ ²/5.375 Ω³ Þ I₁ = -0,047 A

I₂ = Δ₂/Δ Þ I₂ = 4.750 VΩ ²/5.375 Ω³ Þ I₂ = 0,884 A

I₃ = Δ₃/Δ Þ I₃ = 6.750 VΩ ²/5.375 Ω³ Þ I₃ = 1,256 A

A I₁ se le invierte el sentido por ser negativo.

i1 = I1 = 0,047 A i3 = I2 = 0,884 A i4 = I3 = 1,256 A

i6 = I3 - I2 = 0,372 A i5 = I1 + I2 = 0,931 A i2 = I3 + I1 = 1,303 A

Para verificar se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff

1) Se estudia una malla (1° ley)

2) Se estudia un nodo (2° ley)

Otro método consiste en comparar la potencia de los elementos activos contra la potencia de los elementos pasivos.

P2 = V2.I2 = 30 V. 1,303 A = 39,09 W P3 = V3.I3 = 10 V. 0,884 A = 8,84 W P4 = V4.I4 = 20 V. 1,256 A = 25,12 W P1 = V1.I1 = 20 V. 0,047 A = 0,94 W	Potencia de elementos activos = 47,93 W
PR12 = (R2 + R1).i1 ² = 15 Ω.(0,047 A) ² = 0,0331 W PR4 = R4.i3 ² = 5 Ω.(0,884 A) ² = 3,9073 W PR6 = R6.i4 ² = 5 Ω.(1,256 A) ² = 7,8877 W PR5 = R5.i5 ² = 10 Ω.(0,931 A) ² = 8,6676 W PR3 = R3.i6 ² = 10 Ω.(0,372 A) ² = 1,3838 W	Potencia de elementos pasivos = 47,94 W

Potencia de elementos activos Potencia de elementos pasivos

= 47,93 W = -47,94 W @0 W

Medición de tensiones en C.C.

También se puede medir corriente alterna mediante rectificación previa

Bobina móvil / imán permanente

C_M = F.d

C_M: Cupla Motríz

F: Fuerza

d: Ancho de la espira

Pero: F = Φ.h.i

C_M = Φ.d.h.i

C_M = k.i (1)

C_R = θ.U (2)

C_R: Cupla del Resorte

θ: Angulo

U: Constante del resorte (en física I era k)

En el equilibrio debe ser:

C_M = C_R

k.i = θ.U

θ = k.i/U

Comercialmente se obtienen instrumentos con las siguientes características:

Resistencia de la bobina: Corriente máxima en la bobina:

RB = 2 a 20Ω iM = 0,1 a 10 mA

Para el amperímetro:

i_B.R_B = i.R_S

I = i_B + i Þ i = I - i_B

i_B.R_B = (I - i_B).R_S Þi_B.R_B = I.R_S - i_B.R_S Þi_B.R_B + i_B.R_S = I.R_S

i_B.(R_B + R_S) = I.R_S ÞI/ i_B = (R_B + R_S)/ R_S

I/ i_B = m ÞPoder de multiplicación shunt.

R_B + R_S = m.R_S ÞR_B = R_S.(m - 1)

R_S = R_B/(m - 1)

Ejemplo 9: Para I₁ = 1 A

m₁ = 1 A/0,01 A Þ m₁ = 100

R_S1 = 10 Ω/(100 - 1) ÞR_S1 = 10 Ω/99 Þ R_S1 = 0,1 Ω

Ejemplo 10 : Para calcular 2 rangos más: I₂ = 10 A e I₃ = 100 A

m₂ = 10 A/0,01 A Þ m₂ = 1.000

R_S2 = 10 Ω/(1.000 - 1) ÞR_S2 = 10 Ω/999 Þ R_S2 = 0,01 Ω

m₃ = 100 A/0,01 A Þ m₃ = 10.000

R_S3 = 10 Ω/(10.000 - 1) ÞR_S3 = 10 Ω/9.999 Þ R_S3 = 0,001 Ω

Las resistencias internas equivalentes del amperímetro es muy muy muy pequeña.

El amperímetro se conecta en serie.

Para el voltímetro:

V = (R_B + R_m).i_B

i_B = V_B/R_B

V = (R_B + R_m).V_B/R_B

m = V/V_B Poder multiplicador shunt

m = (R_B + R_m)/R_B

R_B + R_m = m.R_B

R_m = R_B.(m - 1)

Ejemplo 10 : Para calcular un voltímetro de 4 rangos, V₁ = 100 V, V₂ = 200 V,
V₃ = 500 V y V₄ = 1000 V.

m₁ = 100 V/0,1 V Þm₁ = 1.000

R_m1 = 10 Ω.(1.000 - 1) ÞR_m1 = 10 Ω.999 Þ R_m1 = 9.990 Ω

m₂ = 200 V/0,1 V Þ m₂ = 2.000

R_m2 = 10 Ω.(2.000 - 1) - R_m1 ÞR_m2 = 10 Ω.1.999 - 9.990 Ω

R_m2 = 19.999 Ω- 9.990 Ω Þ R_m2 = 10.000 Ω

m₃ = 500 V/0,1 V Þ m₃ = 5.000

R_m3 = 10 Ω.(5.000 - 1) - R_m1 - R_m2

R_m3 = 10 Ω.4.999 - 10.000 Ω- 9.990 Ω

R_m3 = 49.990 Ω- 19.990 Ω

R_m3 = 30.000 Ω

m₄ = 1.000 V/0,1 V Þ m₄ = 10.000

R_m4 = 10 Ω.(10.000 - 1) - R_m1 - R_m2 - R_m3

R_m4 = 10 Ω.9.999 - 10.000 Ω- 9.990 Ω- 30.000 Ω

R_m4 = 99.990 Ω- 49.990 Ω Þ R_m4 = 50.000 Ω

Las resistencias internas equivalentes del voltímetro son muy grandes. El voltímetro se conecta en paralelo.