Física

Electrotécnia: Métodos de resolución de circuitos. Sistema de nodos. Ejercicios resueltos.

Métodos de resolución de circuitos de corriente

Sistema de nodos

Sistema de nodos

Sistema de nodos

(1) Transformar las fuentes de tensión en fuentes de corriente como:

Sistema de nodos

I1 = V1/R1 e I1 = V1/R1

(2) Plantear el número de ecuaciones igual al número de nodos menos uno, que se tendrá de referencia.

Hay 3 nodos → 2 ecuaciones.

Nodo C: tomado como referencia.

Nodo a: I1- i1 - i3 = 0

Nodo b: i3- i2 - I2 - i4 = 0

Luego:

Nodo a: I1 = i1 + i3

Nodo b: - I2 = i2 + i4 - i3

Pero G es la conductancia (inversa de la resistencia):

i1 = VA/R1 = VA.G1

i3 = (VA - VB).G3

i2 = VB.G2

i4 = VB.G4

Reemplazando en a y b:

Nodo a: I1 = VA.G1 + (VA - VB).G3
Nodo b: - I2 = VB.G2 + VB.G4- (VA - VB).G3
Nodo a: I1 = VA.(G1 + G3) - VB.G3
Nodo b: - I2 = - VA.G3 + VB.(G2 + G4 + G3)

⇒I1 = VA.G1 + VA.G3 - VB.G3
⇒- I2 = VB.G2 + VB.G4 - VA.G3 + VB.G3

Ejemplo 11:

Nodo 2: referencia.

Incógnitas: V1, V3 y V4

(1) I1 + I2 = 9,33 A

(3) -I1 - I3 = -11 A

(4) I3 = 5 A

Sistema de nodos

Sistema de nodos

(1) 9,33 A = V1.(G1 + G2) - V3.G1 + V4.0
(3) -11 A = - V1.G1 + V3.(G1 + G5 + G3) - V4.(G5 + G3)
(4) 5 A = V1.0 - V3.(G5 + G3) + V4.(G4 + G5 + G3)

⇒9,33 A = V1.0,533 Ω- V3.0,2 Ω + V4.0

⇒-11 A = - V1.0,2 Ω + V3.0,575 Ω- V4.0,375 Ω
⇒5 A = V1.0 - V3.0,375 Ω + V4.0,475 Ω

Δ=

0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω

-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω

0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ= (0,146 - 0,075 -0,019) Ω³ ⇒ Δ= 0,052 Ω³

Δ1 =

9,33 A
-11 A
5 A

-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω

0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ1 = (2,55 + 0,375 - 1,31 - 1,045) AΩ² ⇒ Δ1 = 0,57 AΩ²

Δ3 =

0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω

9,33 A
-11 A
5 A

0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ3 = (-2.78 + 0,99 + 0,87) AΩ² ⇒ Δ3 = -0,92 AΩ²

Δ4 =

0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω

-0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω

9,33 A
-11 A
5 A

⇒ Δ4 = (1,53 + 0,7 - 2,19 - 0,2) AΩ² ⇒ Δ4 = -0,16 AΩ²

V1 = Δ1/Δ ⇒ V1 = 0,57 AΩ²/0,052 Ω³ ⇒ V1 = 10,96 V

V3 = Δ3/Δ ⇒ V3 = -0,92 AΩ²/0,052 Ω³ ⇒ V3 = -17,7 V

V4 = Δ4/Δ ⇒ V4 = -0,16 AΩ²/0,052Ω³ ⇒V4 = -3,08 V

En la figura:

I5 = (V3- V4).G5 ⇒I5 = (17,7 V - 3,08 V).0,125 Ω ⇒ I5 = 1,83 A

I4 = V4.G4 ⇒I4 = 3,08 V.0,1 Ω ⇒ I4 = 0,308 A

No pueden ni deben hallarse I1, I2e I3 ya que son las resistencias internas de las fuentes reales.

Ejemplo 12:

Nodo 2: referencia.

G1 = 0,25 Ω

G2 = 0,5 Ω

G3 = 0,1 Ω

G4 = 0,125 Ω

I1 = V1/R1 ⇒ I1 = 7,5 A

I2 = V2/R2 ⇒ I2 = 10 A

Sistema de nodos

Sistema de nodos

(2) -I1 - I2 = V2.(G1 + G2 + G4) - V3.(G1 + G4) ⇒-17,5 A = V2.0,875 Ω- V3.0,375 Ω

(3) I1 = - V2.(G4 + G1) + V3.(G1 + G4 + G3) ⇒7,5 A = - V2.0,375 Ω + V3.0,475 Ω

Δ=

0,875 Ω
-0,375 Ω

-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ= (0,415 - 0,14) Ω² ⇒ Δ= 0,274 Ω²

Δ2 =

-17,5 A
7,5 A

-0,375 Ω
0,475 Ω

⇒ Δ2 = (-8,31 + 2,81) AΩ ⇒ Δ2 = -5,5 AΩ

Δ3 =

0,875 Ω
-0,375 Ω

-17,5 A
7,5 A

⇒ Δ3 = (6,56 - 6,56) AΩ ⇒ Δ3 = 0 AΩ

V2 = Δ2/Δ ⇒ V2 = -5,5 AΩ/0,274 Ω² ⇒ V2 = -20 V

V3 = Δ3/Δ ⇒ V3 = 0 AΩ/0,274 Ω² ⇒ V3 = 0 V

I4 = V2.G4 ⇒ I4 = -20 V.0,125 Ω ⇒ I4 = 2,5 A

I3 = V3.G30 A

Resolviendo por el método de las mallas:

1) -V2 = i1.(R2 + R3 + R4) - i2.R4 ⇒-20 V = i1.20 Ω- i2.8 Ω

2) V1 = -i1.R4 + i2. (R1 + R4) ⇒30 V = -i1.8 Ω + i2.12 Ω

Δ=

20 Ω
-8 Ω

-8 Ω
12 Ω

⇒ Δ=176 Ω²

Δ1 =

-20 V
30 V

-8 Ω
12 Ω

⇒ Δ1 = 0 VΩ

Δ2 =

20 Ω
-8 Ω

-20 V A
30 V

⇒ Δ2 = 440 VΩ

i1 = Δ1/Δ ⇒ i1 = 0 VΩ/176 Ω² ⇒ i1 = 0 A

i2 = Δ2/Δ ⇒ i2 = 440 VΩ/176 Ω² ⇒ i2 = 2,50 A

Ejemplo 13:

Sistema de nodos

Sistema de nodos

Determinar la corriente que circula por R4, R5,y R6 aplicando el método de los nodos.

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Editor: Fisicanet ®

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