Física - Electrotécnia

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Apunte de electrotécnia: Métodos de resolución de circuitos. Sistema de nodos. Ejercicios resueltos.

Métodos de resolución de circuitos

Sistema de nodos

(1) Transformar las fuentes de tensión en fuentes de corriente como:

I₁ = V₁/R₁ e I₁ = V₁/R₁

(2) Plantear el número de ecuaciones igual al número de nodos menos uno, que se tendrá de referencia.

Hay 3 nodos ® 2 ecuaciones.

Nodo C: tomado como referencia.

Nodo A: I₁- i₁ - i₃ = 0

Nodo B: i₃- i₂ - I₂ - i₄ = 0

Luego:

Nodo A: I₁ = i₁ + i₃

Nodo B: - I₂ = i₂ + i₄ - i₃

Pero G es la conductancia (inversa de la resistencia):

i₁ = V_A/R₁ = V_A.G₁

i₃ = (V_A - V_B).G₃

i₂ = V_B.G₂

i₄ = V_B.G₄

Reemplazando en A y B :

Nodo A: I1 = VA.G1 + (VA - VB).G3 Nodo B: - I2 = VB.G2 + VB.G4- (VA - VB).G3 Nodo A: I1 = VA.(G1 + G3) - VB.G3 Nodo B: - I2 = - VA.G3 + VB.(G2 + G4 + G3)

ÞI1 = VA.G1 + VA.G3 - VB.G3 Þ- I2 = VB.G2 + VB.G4 - VA.G3 + VB.G3

Ejemplo 11:

Nodo 2: referencia.

Incógnitas: V₁, V₃ y V₄

(1) I₁ + I₂ = 9,33 A

(3) -I₁ - I₃ = -11 A

(4) I₃ = 5 A

(1) 9,33 A = V1.(G1 + G2) - V3.G1 + V4.0 (3) -11 A = - V1.G1 + V3.(G1 + G5 + G3) - V4.(G5 + G3) (4) 5 A = V1.0 - V3.(G5 + G3) + V4.(G4 + G5 + G3)

Þ9,33 A = V1.0,533 Ω- V3.0,2 Ω + V4.0 Þ-11 A = - V1.0,2 Ω + V3.0,575 Ω- V4.0,375 Ω Þ5 A = V1.0 - V3.0,375 Ω + V4.0,475 Ω

Δ=

0,533 Ω -0,2 Ω 0 Ω

-0,2 Ω 0,575 Ω -0,375 Ω

0 Ω -0,375 Ω 0,475 Ω

Þ Δ= (0,146 - 0,075 -0,019) Ω³ Þ Δ= 0,052 Ω³

Δ1 =

9,33 A -11 A 5 A

-0,2 Ω 0,575 Ω -0,375 Ω

0 Ω -0,375 Ω 0,475 Ω

Þ Δ1 = (2,55 + 0,375 - 1,31 - 1,045) AΩ ² Þ Δ1 = 0,57 AΩ ²

Δ3 =

0,533 Ω -0,2 Ω 0 Ω

9,33 A -11 A 5 A

0 Ω -0,375 Ω 0,475 Ω

Þ Δ3 = (-2.78 + 0,99 + 0,87) AΩ ² Þ Δ3 = -0,92 AΩ ²

Δ4 =

0,533 Ω -0,2 Ω 0 Ω

-0,2 Ω 0,575 Ω -0,375 Ω

9,33 A -11 A 5 A

Þ Δ4 = (1,53 + 0,7 - 2,19 - 0,2) AΩ ² Þ Δ4 = -0,16 AΩ ²

V₁ = Δ₁/Δ Þ V₁ = 0,57 AΩ ²/0,052 Ω³ Þ V₁ = 10,96 V

V₃ = Δ₃/Δ Þ V₃ = -0,92 AΩ ²/0,052 Ω³ Þ V₃ = -17,7 V

V₄ = Δ₄/Δ Þ V₄ = -0,16 AΩ ²/0,052Ω³ ÞV₄ = -3,08 V

En la figura:

I₅ = (V₃- V₄).G₅ ÞI₅ = (17,7 V - 3,08 V).0,125 Ω Þ I₅ = 1,83 A

I₄ = V₄.G₄ ÞI₄ = 3,08 V.0,1 Ω Þ I₄ = 0,308 A

No pueden ni deben hallarse I₁, I₂e I₃ ya que son las resistencias internas de las fuentes reales.

Ejemplo 12:

Nodo 2: referencia.

G₁ = 0,25 Ω

G₂ = 0,5 Ω

G₃ = 0,1 Ω

G₄ = 0,125 Ω

I₁ = V₁/R₁ Þ I₁ = 7,5 A

I₂ = V₂/R₂ Þ I₂ = 10 A

(2) -I₁ - I₂ = V₂.(G₁ + G₂ + G₄) - V₃.(G₁ + G₄) Þ-17,5 A = V₂.0,875 Ω- V₃.0,375 Ω

(3) I₁ = - V₂.(G₄ + G₁) + V₃.(G₁ + G₄ + G₃) Þ7,5 A = - V₂.0,375 Ω + V₃.0,475 Ω

Δ=

0,875 Ω -0,375 Ω

-0,375 Ω 0,475 Ω

Þ Δ= (0,415 - 0,14) Ω ² Þ Δ= 0,274 Ω ²

Δ2 =

-17,5 A 7,5 A

-0,375 Ω 0,475 Ω

Þ Δ2 = (-8,31 + 2,81) AΩ Þ Δ2 = -5,5 AΩ

Δ3 =

0,875 Ω -0,375 Ω

-17,5 A 7,5 A

Þ Δ3 = (6,56 - 6,56) AΩ Þ Δ3 = 0 AΩ

V₂ = Δ₂/Δ Þ V₂ = -5,5 AΩ/0,274 Ω ² Þ V₂ = -20 V

V₃ = Δ₃/Δ Þ V₃ = 0 AΩ/0,274 Ω ² Þ V₃ = 0 V

I₄ = V₂.G₄ Þ I₄ = -20 V.0,125 Ω Þ I₄ = 2,5 A

I₃ = V₃.G₃ Þ 0 A

Resolviendo por el método de las mallas:

1) -V₂ = i₁.(R₂ + R₃ + R₄) - i₂.R₄ Þ-20 V = i₁.20 Ω- i₂.8 Ω

2) V₁ = -i₁.R₄ + i₂. (R₁ + R₄) Þ30 V = -i₁.8 Ω + i₂.12 Ω

Δ=

20 Ω -8 Ω

-8 Ω 12 Ω

Þ Δ=176 Ω ²

Δ1 =

-20 V 30 V

-8 Ω 12 Ω

Þ Δ1 = 0 VΩ

Δ2 =

20 Ω -8 Ω

-20 V A 30 V

Þ Δ2 = 440 VΩ

i₁ = Δ₁/Δ Þ i₁ = 0 VΩ/176 Ω ² Þ i₁ = 0 A

i₂ = Δ₂/Δ Þ i₂ = 440 VΩ/176 Ω ² Þ i₂ = 2,50 A

Ejemplo 13:

Determinar la corriente que circula por R₄, R₅,y R₆ aplicando el método de los nodos.