Física - Electrotécnia

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Apunte de electrotécnia: Método de resolución de circuitos. Método de Thevenin.

Ejercicio ¿? : Empleando el método de Thevenin, calcular la caída de tensión en R₆ y la potencia disipada en R₈,verificar por otro método.

a) Caída de tensión en R₆ :

I. Resistencia de Thevenin (se realiza cambio estrella triángulo).

R_A = R _AB.R _AC/(R _AB + R _AC + R _CB)

R_B = R _AB.R _BC/(R _AB + R _AC + R _CB)

R_C = R _CB.R _AC/(R _AB + R _AC + R _CB)

R _AB = R₃

R _BC = R₇

R _CD = R₁ + R₈

R_A = 8 Ω.25Ω/(8Ω + 25 Ω + 2 Ω) ÞR_A = 5,715 Ω

R_B = 8 Ω.2 Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ÞR_B = 0,457 Ω

R_C = 2 Ω.25Ω/(8 Ω + 25 Ω + 2 Ω) ÞR_C = 1,429 Ω

R_x = R_A + R₂ + R₅ ÞR_x = 5,715 Ω + 10 Ω + 10 Ω ÞR_x = 25,715 Ω Serie

R_y = R_C + R₉ + R₄ ÞR_y = 1,429 Ω + 7 Ω + 5 Ω ÞR_y = 13,429 Ω Serie

1/R_z = (R_x + R_y)/R_x.R_y ÞR_z = 25,715 Ω.13,429Ω/(25,715 Ω + 13,429 Ω) ÞR_z = 8,822 Ω Paralelo

R _eq = R_z + R_B ÞR _eq = 8,822 Ω + 0,457 Ω ÞR _eq = 9,279 Ω ÞR _TH = 9,279 Ω Serie

II. Caída de potencial de Thevenin (se aplica método de mallas).

(1) V₁ + V₃ = I₁.(R₁ + R₃ + R₈ + R₇) - I₂.(R₁ + R₈)

(2) V₄-V₂ +V₁ = I₂.(R₂ +R₁ +R₄ +R₅ +R₉ +R₈) -I₁.(R₁ + R₈)

(1) 20V + 5V =I₁.(5Ω + 8Ω + 20Ω + 2Ω) - I₂.(5Ω + 20Ω)

(2) 10 V - 30 V + 20 V = I₂.(10 Ω + 5 Ω + 20 Ω + 7 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - I₁.(5 Ω + 20 Ω)

(1) 25 V = I₁.35 Ω- I₂.25 Ω Determinantes

(2) 0 V = - I₁.25Ω + I₂.57 Ω

I₁ = 1,040 A

I₂ = 0,456 A

i₁ = 0,58 A

i₄ = 0,46 A

i₈ = 0,58 A

i₂ = 0,46 A

i₅ = 0,46 A

i₉ = 0,46 A

i₃ = 1,04 A

i₇ = 1,04 A

V₁₂ = R₇.i₁ + R₉.i₂ + R₄.i₂ + V₄ ÞV₁₂ = 2 Ω.0,58 A + 7 Ω.0,46 A + 5 Ω.0,46 A + 10 V

V₁₂ = V₃ - R₃.i₁ + V₂ - R₂.i₂ - R₅.i₂ ÞV₁₂ = 5 V - 8 Ω.0,58 A + 30 V - 10 Ω.0,46 A - 10 Ω.0,46 A

V₁₂ = 17,55 V

V₁₂ = 17,55 V

V _TH = 17,55 V

I _TH = V _TH/(R _TH + R₆) ÞI _TH = 17,55 V/(9,279 Ω + 8 Ω) Þ I _TH = 1,02 A

V_R6 = R₆.I _TH ÞV_R6 = 8 Ω.1,02 A Þ V_R6 = 8,128 V

b) Potencia en R₈ :

I. Caída de potencial de Thevenin (se aplica método de mallas).

(1) -V₂- V₃ = I₁.(R₂ + R₃ + R₅ + R₆) - I₂.R₄ Þ - 30 V - 5 V = I₁.(10 Ω + 8 Ω + 8 Ω + 10 Ω) - I₂.8 Ω

(2) V₄ = I₂.(R₄ + R₆ + R₇ + R₉) - I₁.R₄ Þ10 V = - I₁.8 Ω + I₂.(5 Ω + 8 Ω + 2 Ω + 7 Ω)

(1) -35 V = I₁.36 Ω- I₂.8 Ω Determinantes

(2) 10 V = - I₁.8 Ω + I₂.22 Ω

I₁ = 0,948 A

I₂ = 0,110 A

i₃ = 0,948 A

i₄ = 0,110 A

i₆ = 1,06 A

V _AB = - V₁ + R₁.i₁ + V₂ - R₂.i₃ - R₅.i₃ + R₄.i₄ - V₄ + R₉.i₄

V _AB = - V₁ + R₁.i₁ + V₂ - R₂.i₃ - R₅.i₃- R₆.i₆ - R₇.i₄

V _AB = -20 V + 30 V - 10 Ω.0,948 A - 10 Ω.0,948 A + 5 Ω.0,110 A - 10 V + 7 Ω.0,110 A ÞV _AB = -17,64 V

V _AB = -20V + 30V - 10Ω.0,948A - 10Ω.0,948A - 8Ω.1,06A - 2Ω.0,110A ÞV _AB = -17,64V Þ V _TH = 17,64 V

II.

Resistencia por Thevenin (se realiza cambio estrella triángulo).

R_C = R₃.(R₂ + R₅)/(R₂ + R₃ + R₅ + R₆)

R_D = R₃.R₆/(R₂ + R₃ + R₅ + R₆)

R_E = R₆.(R₂ + R₅)/(R₂ + R₃ + R₅ + R₆)

R_C = 8 Ω.(10 Ω + 10 Ω)/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

R_D = 8 Ω.8 Ω/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

R_E = 8 Ω.(10 Ω + 10 Ω)/(10 Ω + 8 Ω + 10 Ω + 8 Ω)

R_C = 4,44 Ω

R_D = 1,78 Ω

R_E = 4,44 Ω

R_F = R_D + R₇ ÞR_F = 1,78 Ω + 2 Ω ÞR_F = 3,78 Ω Serie

R_G = R_E + R₄ + R₉ ÞR_G = 4,44 Ω + 5 Ω + 7 Ω ÞR_G = 16,44 Ω Serie

R_H =R_F.R_G/(R_F + R_G) ÞR_H = 3,78 Ω.16,44 Ω/(3,78 Ω + 16,44 Ω) ÞR_H = 3,07 Ω Paralelo

R _eq = R_C + R_H + R₁ ÞR _eq = 4,44 Ω + 3,07 Ω + 5 Ω ÞR _eq = 12,52 Ω Þ R _TH = 12,52 Ω Serie

I _TH =V _TH/(R _TH + R₈) ÞI _TH = 17,64 V/(12,52 Ω + 20 Ω) Þ I _TH = 0,54 A

P_R8 = R₈.I _TH ² = 20 Ω.(0,54 A) ² Þ P_R8 = 5,884 W

c) Verificación por el método de las mallas :

(1) V₁ + V₃ = I₁.(R₈ + R₇ + R₃ + R₁) - I₂.R₃ - I₃.R₇

(2) -V₂ - V₃ = - I₁.R₃ + I₂.(R₆ + R₅ + R₃ + R₂) - I₃.R₆

(3) V₄ = - I₁.R₇ - I₂.R₆ + I₁.(R₆ + R₇ + R₉ + R₄)

(1) 20 V + 5 V = I₁.(20 Ω + 2 Ω + 8 Ω + 5 Ω) - I₂.8 Ω- I₃.2 Ω

(2) -30 V - 5 V = - I₁.8 Ω + I₂.(8 Ω + 10 Ω + 8 Ω + 10 Ω) - I₃.8 Ω

(3) 10 V = - I₁.2 Ω- I₂.8 Ω + I₁.(8 Ω + 2 Ω + 7 Ω + 5 Ω)

(1) 25 V = I₁.35 Ω- I₂.8 Ω- I₃.2 Ω

(2) -35 V = - I₁.8 Ω + I₂.36 Ω- I₃.8 Ω Determinante

(3) 10 V = - I₁.2 Ω- I₂.8 Ω + I₁.22 Ω

I1 =0,542 A i1 = I1 = 0,542 A i3 = i2 + i1 = 1,35 A

I2 =-0,805 A i2 = I2 = 0,805 A i6 = i2 + i4 = 1,02 A

I3 = 0,211 A i4 = I3 = 0,211 A i7 = i4- i1 = 0,33 A

V_R6 = i₆.R₆ ÞV_R6 = 1,02 A.8 Ω Þ V_R6 = 8,128 V

P_R8 = i₁ ².R₈ ÞP_R8 = (0,542 A) ².20 Ω Þ P_R8 = 8,884 W