Física - Electrotécnia

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Apunte de electrotécnia: Método de resolución de circuitos. Teorema de Norton.

Teorema de Norton

Es el recíproco del Teorema de Thevenin y dice:
"Todo circuito compuesto de generadores y resistencias se puede reemplazar por un generador de corriente I_N en paralelo con una resistencia R_N ".

Dónde I_N es igual a la corriente que circula por los terminales de salida cuando estas se ponen en cortocircuito. R_N es la misma que la de Thevenin.

Para determinar el equivalente de Norton del circuito, se procede de la siguiente forma:

1) Cortocircuitamos C y D y calculamos la corriente que circula:

I_N = V.(R₂ // R₃)/(R₁ + R₂ // R₃).R₃ Þ I_N = V.{[R₂.R₃/(R₂ + R₃)]/{R₁ + [R₂.R₃/(R₂ + R₃)]}.R₃

I_N = V.R₂.R₃/R₃.(R₂ + R₃).[R₁ + R₂.R₃/( R₂ + R₃)] Þ I_N = V.R₂/{(R₂ + R₃).[(R₂ + R₃).R₁ + R₂.R₃]/(R₂ + R₃)}

I_N = V.R₂/[(R₂ + R₃).R₁ + R₂.R₃]Þ I_N = V.R₂/(R₂.R₁ + R₃.R₁ + R₂.R₃)

2) La R_N se calcula como en Thevenin:

R_N =R _TH

R_N =(R₁ // R₃) + R₂

3) Luego reemplazamos por el circuito equivalente:

Ejemplo ??: ¿qué corriente circula por R₂?

R_N = (R₁ + R₄ + R₇) // R₆ + R₃ Þ R_N = [(R₁ + R₄ + R₇).R₆/(R₁ + R₄ + R₇ + R₆)] + R₃

R_N =[(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω).8 Ω/(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω + 8 Ω)] + 10 Ω Þ R_N = (12 Ω.8 Ω/20 Ω) + 10 Ω Þ R_N = 14,8 Ω

(1) V₁ = I₁.(R₁ + R₄ + R₇ + R₆) - I_N.R₆

(2) V₂ = - I₁.R₆ + I_N.(R₃ + R₆)

(1) 20 V = I₁.(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω + 8 Ω) - I_N.8 Ω Þ 20 V = I₁.20 Ω- I_N.8 Ω

(2) 10 V = - I₁.8 Ω + I_N.(10 Ω + 8 Ω) Þ 10 V = - I₁.8 Ω + I_N.18 Ω

Δ= 296 Ω ²

Δ₁ = 440 ΩV

Δ_N = 360 ΩV

I₁ = 440 ΩV/296 Ω ² Þ I₁ = 1,4865 A

I_N = 360 ΩV/296 Ω ² Þ I_N = 1,2162 A

Se reemplaza el circuito por el de Norton:

(1) I_N = i₁ + i₂

(2) i₁.R_N = i₂.R₂ Þ i₁ = i₂.R₂/R_N

(2) en (1)

I_N = i₂.R₂/R_N + i₂ Þ I_N = i₂.(R₂/R_N + 1) Þ i₂ = i_N/(R₂/R_N + 1)

i₂ = i_N/[(R₂ + R_N)/R_N] Þ i₂ = R_N.i_N/(R₂ + R_N)

i₂ = 14,8 Ω.1,22 A/(3 Ω + 14,8 Ω) Þ i₂ = 1,014 A

Otra forma:

R _eq = R_N // R₂ Þ R _eq = R_N.R₂/(R_N + R₂) Þ R _eq = 14,8 Ω.3Ω/(14,8Ω + 3 Ω)Þ R _eq = 2,49 Ω

V _AB = R _eq.I_N Þ V _AB = 2,49 Ω.1,22 A Þ V _AB = 3,04 V

i₂ = V _AB/R₂ Þ i₂ = 3,04 V/3 Ω Þ i₂ = 1,01 A

Ejercicio ??: Aplicando Norton, calcular R₆.

R _eq = (R₁ + R₂ + R₃) // (R₄ + R₅) Þ R _eq = (5 Ω + 10 Ω + 3 Ω) // (5 Ω + 10 Ω) Þ R _eq = 18 Ω// 15 Ω

R _eq = 18 Ω.15 Ω/(18 Ω + 15 Ω) Þ R _eq = 270 Ω ²/33 Ω Þ R _eq = 8,18 Ω Þ R_N = 8,18 Ω

V₁ = i₁.(R₁ + R₂ + R₃) - i₂.0 Þ 50 V = i₁.(5 Ω + 10 Ω + 3 Ω) Þ 50 V = i₁.18 Ω Þ i₁ = 50 V/18 Ω

- V₂ = - i₁.0 + i₂.(R₄ + R₅) Þ - 30 V = i₂.(5 Ω + 10 Ω) Þ - 30 V = i₂.15 Ω Þ i₂ = - 30 V/15 Ω

i₁ = 2,78 A

i₂ = - 2 A

I_N = i₁ + i₂ Þ I_N = 2,78 A + 2 A Þ I_N = 4,78 A

i₆ = I_N.R_N/(R₆ + R_N) Þ i₆ = 4,78 A.8,18 Ω/(5Ω + 8,18 Ω)

i₆ = 39,1004 V/13,18 Ω Þ i₆ = 2,97 A