Matemática

Conjuntos Numéricos: Números naturales. Construcción de los números enteros a partir de los naturales. Construcción a partir de enteros de los números racionales. Propiedades

Recopilación del concepto de número

- Los números naturales (N)

- Construcción a partir de N de los números enteros (Z)

- Construcción a partir de Z de los números racionales (Q)

- Construcción a partir de Q de los números reales (R)

- Construcción a partir de R de los números complejos (C)

- Topología de R

- Sucesiones y series de números reales

Los números naturales N={0, 1, 2, 3, 4,.....}

Los suponemos bien conocidos. Sirven para contar y ordenar conjuntos finitos. En la función de contar está su origen.

Sea f la colección de todos los conjuntos finitos (con finitos elementos), podemos decir que A, B ∈ f son equivalentes cuando se puede establecer una biyección (correspondencia uno a uno) entre ambos.

Esto es una relación de equivalencia en f,es decir, es una relación:

-Reflexiva: ∀A ∈ f A ~ A (A equivalente A)

-Simétrica: A, B ∈ f, A ~ B ⇒B ~ A

-Transitiva: A, B, C ∈ f, A ~ B, B ~ C ⇒A ~ C

Como eso es una relación de equivalencia induce en f una clasificación.

Una clasificación de f es una colección de subconjuntos de f disjuntos dos a dos y cuya unión es todo f, es decir una colección de subconjuntos tales que todo elemento está en uno y sólo en uno.

¿Cuáles son las clases que induce la relación ~?

Cada clase está formada por un conjunto finito y todos los que son equivalentes a él.

Al conjunto de clases se le suele denotar f / ~ (conjunto cociente o de clases de f respecto a la relación ~)

Así que una clase es la formada por todos los conjuntos con un elemento. Otra clase es la formada por dos elementos. Otra clase es la formada por tres elementos. Etc.

Bien podemos decir que f / ~ = N

Un número natural es lo que tienen en común todos los conjuntos equivalentes a éste.

Sea A un conjunto finito. A la clase a la que pertenece A se le suele denotar cardinal de A (card. A).

El concepto de número natural no tiene nada que ver con el nombre que se den a ese número (uno, dos, tres,.....) (one, two, three,.....) ni con la forma con la que se representan (1, 2, 3,...) (I,II, III, IV,.....).

Decíamos que no sólo conocíamos los números naturales N sino también la estructura algebraica - topológica (N, +, ·, <) (algebraica por las operaciones + y ·, topológica por la relación <)

Diremos que conocemos la adición, la multiplicación y el orden en los números N. ES decir, sabemos que esas "cosas" tienen las siguientes propiedades básicas de las que se derivan otras.

Adición:

A1. Asociativa ∀a, b, c ∈ N (a + b) + c = a + (b +c)

A2. Conmutativa ∀a, b ∈ N a + b = b + a

A3. Elemento neutro ∀a ∈ N a + 0 = a

Multiplicación:

M1. Asociativa a ·(b·c) = (a·b)· c

M2. Conmutativa a·b = b · a

M3. Elemento unidad a · 1 = a

Adición / multiplicación: AM. Distributiva a · (b + c) = a·b + a·c

Ser menor que:

O1. Transitiva a < b, b < c ⇒a < c

O2. Antisimétrica a < b, b < a ⇒a = b

O3. Es total ∀a, b ∈ N a ≠ b ⇒a < b ó b < a

Orden / adición: OA. Compatibilidad del orden / adición a < b a +c < b + c (c ∈ N)

Orden / multiplicación: OM. Compatibilidad del orden / multiplicación a < b, 0 < c ⇒ac < bc

No hemos dicho:

- Existencia de opuesto para la adición

- Existencia de inverso para la multiplicación

- Y otras referentes al orden.

Haremos una primera extensión de número que nos dará el opuesto. Una segunda nos dará el inverso. Y una tercera nos dará lo no citado ahora del orden.

Sean A y B conjuntos finitos de elementos (A ≥B ≠ Ø). Cardinal A y cardinal B son dos números naturales (son la clase a la que pertenece A y la clase a la que pertenece B).

Pues bien, card. A + card. B = card. (A U B), de aquí sale la suma o adición.

El concepto de multiplicación sale de: card. A · card. B = card. (A x B) (A x B es el producto cartesiano de A y B, es decir, el conjunto formado por los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B).

Construcción de los números enteros (Z) a partir de los N

Se trata de construirlos formalmente, pero firmemente anclada la construcción en los problemas de la vida diaria que exigen la existencia de estos nuevos números.

Supongamos que tenemos el siguiente estado de cuenta:

Haber

Debe

7
9
23

4
3
1

Los números naturales sirven para escribir el haber y el debe, pero no alcanzan a escribir el haber menos el debe, sólo cuando el deber es menor o igual al haber. Entonces a partir de (N, +, ·, <) creamos una nueva herramienta para expresar el saldo, sin perder nada (sólo ganar).

Consideramos el conjunto N x N de pares ordenados de números naturales.

Definimos en N x N la relación:

(a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c

Queríamos decir a - b = c - d, pero no podemos decir esto porque no siempre se puede restar en N, así que lo que decimos es aquella que es equivalente.

Con lo que sabemos de N vemos inmediatamente que eso es una relación de equivalencia en N x N: es reflexiva ∀ (a, b) ∈ N x N (a, b) ~ (a, b) porque a + b = b + a; es simétrica (a, b) ~ (c, d) ⇒ (c, d) ~ (a, b) porque c + d = b + c ⇒ c + b = d + a; y es transitiva (a, b) ~ (c, d), (c, d) ~ (e, f) ⇒ (a, b) ~ (e, f) porque a + d = b + c, c +f = d + e⇒ a + d + c + f = b + c + d +e ⇒a + f = b + e

Por tanto ~ induce una clasificación, por definición el conjunto de números enteros:

Z = N x N / ~

Un número entero es lo que tienen en común todos los balances con el mismo saldo (tienen en común el saldo):

(0, 4)] = [(2, 6)] = [(1, 5)] =

Vamos a ver que podemos dotar a Z de una estructura algebraica - topológica análoga a la que tenía N pero con una propiedad importante más, la estructura anterior además se sumergirá en ésta. Es decir, ocurrirá que hay una aplicación inyectiva de N en Z que:

- i: a∈ N → [(a, b)] ∈ Z tal que:

- i (a + b) = i (a) + i (b)

- i (a·b) = i (a) · i (b) Da lo mismo primero sumar y luego sumergir que al revés

- i (a < b) = i (a) < i (b)

Definición de adición, multiplicación y orden en Z:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]

[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] [el "truco" (a - b)(c - d) = ac + bd - (ad + bc)]

[(a, b)] < [(c, d)] : ⇔ a + d < b + c

Lo primero que hay que ver es que esas definiciones no dependen de los representantes utilizados para darlas. Es decir que:

(a, b) ~ (a´, b´) |

(c, d) ~ (c´, d´) | ⇒(a + c, b + d) ~ (a´ + c´, b´ + d´)

Y esto es cierto porque:

a + b´ = b + a´ |

c + d´ = d + c´ | ⇒ a +c + b´ + d´ = b + d +a´ + c´

Para el caso de la multiplicación:

(a, b) ~ (a´, b´) |

(c, d) ~ (c´, d´) | ⇒(a.c + b.d, a.d + b.c) ~ (a´.c´ + b´.d´, a´.d´ + b´.c´)

Y esto es porque:

a - b = a´ - b´ |

c - d = c´ - d´ | ⇒a.c - a.d - b.c + b.d = a´.c´ - a´.d´ - b´.c´ + b´.d´ ⇒a.c + b.d + a´.d´ + b´.c´ =

= a´.c´ + b´.d´ + a.d + b.c

Para el orden:

(a, b) < (a´, b´) |

(c, d) < (c´, d´) | ⇒a + b´ + c + d´ < b + a´ + d + c´

Esto es porque:

a + b´ < b + a´ |

c + d´ < d + c´ | ⇒a + c + b´+ d´ < b + d + a´ + c´

Lo segundo que estas definiciones extienden a las de N, es decir, aquello que antes escribíamos i (a + b) = i(a) + i(b) donde i: a ∈ N → [(a, 0)] ∈ Z

En efecto: ∀ a, b ∈ N

i(a + b) = [(a + b, 0)]

i(a) = [(a, 0)]

i(b) = [(b, 0)]

i(a·b) = [(ab, 0)]

i(a) = [(a, 0)]

i(b) = [(b, 0)]

i(a < b) = a < b

i(a) = [(a, 0)]

i(b) = [(b, 0)]

Lo tercero, es ver las propiedades +, ·,< y ver que tenemos las siguientes propiedades:

- la adición en Z es asociativa:

[(a, b)] +{[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] + [(c + e, d + f)] ⇒ [(a + (c + e), b + (d + f))] ⇒[((a + c) + e, (b + d) + f)]

⇒[(a + c, b + d)] + [(e, f)] ⇒ {[(a, b)] + [(c, d)]} + [(e, f)]

- la adición en Z es conmutativa:

[(a, b)] + [(c, d)] ⇒[(a + c, b + d)] ⇒ [(c + a, d + b)] ⇒[(c, d)] + [(a, b)]

- La adición en Z tiene elemento neutro:

[(a, b)] + [(0, 0)] ⇒[(a, b)]

- la multiplicación en Z es asociativa:

[(a, b)] · {[(c, d)] · [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] · [(ce + df, cf + de)] ⇒[(a.c.e + a.d.f + b.c.f + b.d.e, a.c.f + a.d.e + b.c.e + b.d.f)]

[((ac + bd) e + (ad + bc) f, (ad + bc) e + (ac + bd) f))] ⇒ [(ac + bd, ad + bc)] · [(e, f)]⇒

{[(a, b)] · [(c, d)]} · [(e, f)]

- la multiplicación en Z es conmutativa:

[(a, b)] · [(c, d)] ⇒ [(ac + bd, ad + bc)] ⇒ [(ca + db, da + cb)]⇒ [(c, d)] + [(a, b)]

- la multiplicación en Z tiene elemento unidad:

[(a, b)] · [(1, 0)] ⇒[(a, b)]

- Los números Z tienen la propiedad distributiva:

[(a, b)] · {[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] [(c + e, d + f)] ⇒ [(ac + ae + bd + bf, ad + af + bc + be)]⇒

[(ac + bd, ad + bc)] + [(ae + bf, af + be)] ⇒ [(a, b)] · [(c, d)] + [(a, b)] · [(e, f)]

- Transitiva:

[(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(e,f)] ⇒ a + d < b + c, c + f < d + e ⇒

a + d + c + f < b + c + d + e ⇒ a + f < b + e ⇒[(a, b)] < [(e, f)]

- Antisimétrica:

[(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(a,b)] ⇒ a + d < b + c, c + b < d + a ⇒ (a, b)] = [(c, d)]

- ES Total:

[(a, b)] ≠ [(c, d)] ⇒a + d ≠ b + c ⇒ó a + d < b + c ó b + c < a +d ⇒ ó [(a, b)] < [(c, d)] ó [(c, d)] < [(a, b)]

- Orden / adición:

[(a, b)] < [(c, d)] ⇒a + d < b + c

[(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] ⇒ [(a + e, b + f)] < [(c + e, d + f)] ⇒

a + e + d + f < b + f + c + e ⇒ a + d < b + c

- Orden / multiplicación:

[(a, b)] < [(c, d)], [(1, 1)] < [(e, f)] ⇒[(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]

[(a, b)] < [(c, d)], [(1, 1)] > [(e,f)] ⇒ [(a, b)] [(e, f)] > [(c, d)] [(e, f)]

- Existencia de opuesto:

[(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(1, 1)]

Con Z hemos conseguido A4 (existencia de opuesto) pero no M4 (existencia de inverso), es decir, ∀[(a, b)] ≠ [(1, 1)] ∃[(c, d)] : [(a, b)] · [(c, d)] = [(1, 0)]

Ni que decir tiene que los números Z no se escriben de aquella forma [(a, b)] sino [(3, 31)] =-28. Con lo cual Z = {......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .........}

Construcción a partir de Z de los números racionales (Q)

2ª extensión del concepto de número para sin perder nada de lo que tenemos, ganar M4 (existencia de inverso). Los nuevos números son lo racionales.

La no-existencia de inverso es equivalente a imposibilidad, en general, de dividir. La división de enteros sólo es factible cuando el dividendo es múltiplo del divisor. La sustracción de naturales sólo lo era cuando el minuendo es igual o mayor que el sustraendo. Ya hemos resuelto en Z este último problema, "restar" en Z es sumar el opuesto. Lo mismo que dividir en

Q es multiplicar por el inverso.

Para introducir Z nos fijábamos en la relación Haber- deber. Para introducir Q nos fijaremos en repartos dividendo- divisor.

De la necesidad de una herramienta para expresar el saldo de un balance nacieron los enteros.

De la necesidad de una herramienta para expresar la ración de un reparto nacen los racionales.

Consideremos el conjunto Z x (Z -{0}) de pares ordenados de números enteros (el segundo distinto de 0), lo que se reparte entre a quien se reparte (tartas - niños).

Definimos en Z x (Z -{0}) la siguiente relación:

(a, b) ~ (c, d) ⇔ a · d = b·c

Con lo que sabemos de Z vemos inmediatamente que esto es una relación de equivalencia en Z x (Z -{0}): es reflexiva ∀ (a, b) ∈ Z x (Z -{0}) (a, b) ~ (a, b) porque ab = ba; es simétrica (a, b) ~ (c, d) ⇒(c, d) ~ (a, b) porque ad = bc ⇒ cb = da; y es transitiva (a, b) ~ (c, d), (c, d) ~ (e, f) ⇒ (a, b) ~ (e, f) porque ad = bc, cf = d.e⇒a.d.c.f = b.c.d.e ⇒a.f = b.e

Por definición lo racionales Q = Z x (Z - {0}) / ~

Un número racional es lo que tienen en común todos los repartos con la misma ración (tener en común la ración).

{(1, 3), (2, 6), (3, 5), (-1, -3), (-2,-6),.....} = [(1, 3)] = [(-2, -6)]

El conjunto Z se sumerge en Q de la siguiente forma: a ∈ Z → [(a, 1)] ∈ Q

No solo el conjunto Z se sumerge en Q sino que la estructura se sumerge en una nueva estructura más rica (Q, +, ·, <). Es decir una vez definamos en Q, +, ·,< se verificará:

- i(a + b) = i(a) + i(b)

- i(a·b) = i(a) · i(b)

- a < b = i(a) < i(b)

Definamos la adición, multiplicación y orden en Q:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]

[(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)]

[(a, b)] < [(c, d)] = ad < bc

Damos por bien conocida su estructura (Q, +,·, <) que acabamos de construir a partir de

la (Z, +, ·, <).

Es decir suponemos sabido lo siguiente:

Que la adición en Q tiene las propiedades:

A1 Asociativa:

[(a, b)] +{[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] + [(c.f + d.e, d.f)] ⇒

⇒ [(a.d.f + b.c.f + b.d.e, b.d.f))] ⇒ [(a.d + b.c, b.d)] + [(e, f)]⇒ {[(a, b)] + [(c, b)]} + [(e, f)]

A2 Conmutativa:

[(a, b)] + [(c, d)] ⇒ [(a.d + b.c, b.d)] ⇒ [(d.a + c.b, d.b)]⇒ [(c, d)] + [(a, b)]

A3 Existe elemento neutro:

[(a, b)] + [(0, 1)] ⇒[(a, b)]

A4 Existe opuesto:

[(a, b)] + [(-a, b)] = [(a, b)] + [(a, -b)] = [(0, b)]

Que la multiplicación en Q tiene las propiedades:

M1 Asociativa:

[(a, b)] · {[(c, d)] · [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] · [(ce, df)] ⇒[(a.c.e, b.d.f)] ⇒ [(a.c, b.d)] · [(e, f)] ⇒{[(a, b)] · [(c, d)]} · [(e, f)]

M2 Conmutativa:

[(a, b)] · [(c, d)] ⇒ [(a.c, b.d)] ⇒ [(c.a, d.b)]⇒ [(c, d)] · [(a,b)]

M3 Existe elemento unidad:

[(a, b)] · [(1, 1)] ⇒[(a, b)]

M4 Existe inverso:

[(a, b)] · [(a, b)]-1 ⇒ [(a · a-1, b · b-1)]⇒[(1, 1)] (Ganancia respecto a Z)

Que el orden es:

O1Transitivo:

[(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(e, f)] ⇒a.d < b.c, c.f < d.e ⇒ a.d.c.f < b.c.d.e ⇒a.f < b.e ⇒[(a, b)] < [(e, f)]

O2 Antisimétrico:

[(a, b)] < [(c, d)], [(c, d)] < [(a, b)] ⇒ a.d < b.c, c.b < d.a ⇒ [(a, b)] = [(c, d)]

O3 ES Total:

[(a, b)] ≠ [(c, d)] ⇒ a.d ≠ b.c⇒ ó a.d < b.c ó b.c < ad ⇒ ó [(a, b)] < [(c, d)] ó [(c, d)] < [(a, b)]

AM Distributiva:

[(a, b)] · {[(c, d)] + [(e, f)]} ⇒ [(a, b)] · [(c.f + d.e, d.f)] ⇒[(a.c.f + a.d.e, b.d.f)] ⇒ [(a, b)] · [(c, d)] + [(a, b)] · [(e, f)]

OA Orden / adición:

[(a, b)] < [(c, d)] ⇒ ad < bc

[(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] ⇒ [(a.f + b.e, b.f)] < [(c.f + d.e, d.f)]

⇒ (a.f + b.e).d.f < b.f.(c.f + d.e) ⇒ a.f.d.f < b.f.c.f⇒ a.d < b.c

OM Orden / multiplicación:

[(a, b)] < [(c, d)], [(0, 1)] < [(e,f)] ⇒ [(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]

Un propiedad más que ya tenían las estructuras anteriores (naturales y enteros), pero que no merecía la pena citar entonces, la propiedad Arquimediana:

∀[(a, b)], [(c, d)] ∈ Q [(a, b)] < [(0, 1)] ∃ n ∈ N : [(c, d)] < n [(a, b)]

Dicho con palabras significa que cualquier número racional positivo sumado consigo mismo tantas veces como sea necesario, se "merienda" a cualquier número.

Por las propiedades A1,....., A4 (Q, +) es un grupo conmutativo o abeliano.

Por las propiedades A1,....., A4 M1,....., M4 y AM (Q, +, ·) es un cuerpo conmutativo.

Por las catorce propiedades primeras (Q, +,·, <) es un cuerpo totalmente ordenado.

Por las 15 propiedades es un cuerpo arquimediano.

Sin embargo, el cuerpo (Q, +, · <) no es completo. (Q, + ·, <) sirve para contar conjuntos finitos (contiene N), para hacer balances (contiene Z). Para expresar raciones de reparto, pero no sirve para medir (expresar el resultado de la medida).

Veamos un ejemplo, el conocido Teorema de Pitágoras. Consideramos un cuadrado de lado 1. No hay ningún número racional a/b que exprese la longitud de la diagonal. Si lo hubiera, sería (a/b)² = 1+1 = 2.

"Sabemos" que todo n° racional se puede expresar mediante una fracción a/b, tal que a es primo con b, es decir ay b no tienen ningún divisor en común. Así pues tenemos lo siguiente:

- a² = 2b² ⇒a² es par ⇒ a es par, a² es múltiplo de 4, es decir, a² =4c ⇒ 4c=2b² ⇒

- 2c = b² ⇒b² es par ⇒b es par CONTRADICCION

Tampoco es racional la longitud de la circunferencia de diámetro 1 o el área del círculo de radio 1.

El problema más famoso de la matemática era saber qué n° es Π. Los egipcios Π~ 3,14. A finales del siglo VXIII se probó que Πno es racional y a fines del XIX se probó que no es algebraico (no es raíz de ningún polinomio de cociente razonable ). Es trascendente.

Editor: Fisicanet ®

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