Análisis Matemático - Derivadas

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Apunte de Derivadas.

Recta tangente a una curva en un punto

m = Δy/ΔxÞm = tg α

y₂´ = f´(x)

pero y₂´ en a:

tg α = f´(a) Þm = f´(a)

por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a,es:

y₁ = f´(a).x + b

Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva.

1) Dado el punto P(a; y_a), hallar la ecuación de la recta tangente.

a- derivar la función de la curva.

y₂´ = f´(x)

b- reemplazar en la derivada x por el valor a.

y₂´ = f´(a)

c- el resultado es la pendiente m.

m = f´(a)

d- armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.

y₁ = m.(x - a) + y_a

2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva.

a- se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.

y₁ = y₂ Þm.x + b = f(x)

b- despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a.

c- con el valor de x reemplazar en y₁ ó y₂ para hallar y_a.

d- el punto de intersección será:

P(a; y_a)

e- derivar la función de la curva.

y₂´ = f´(x)

f- reemplazar en la derivada x por el valor a.

y₂´ = f´(a)

g- verificar que f´(a) sea igual a m.

y₂´ = m

3) Dada una recta cualquiera (y = m₃.x + b₃), hallar la recta tangente paralela a una curva.

a- la pendiente de esta recta (m₃) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m₁).

m₃ = m₁

b- además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.

m₃ = f´(a) Þm₃ = f´(x)

c- despejar el x = a.

d- con el valor de x reemplazar en y₂ para hallar y_a.

e- el punto de intersección será:

P(a; y_a)

f- armar la ecuación de la recta tangente con m₃ y el punto hallado.

y₁ = m₃.(x - a) + y_a