Análisis Matemático - Derivadas

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Apunte de Derivadas: Estudio de funciones derivables.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

LEMA (de monotonía).-

Sea f : I-->R una función. Supongamos que f´(t₀)>0 en un punto t₀interior. Entonces existe Δ>0 tal que f(s)<f(t₀)<f(t) cuando sÎ (t₀-Δ,t₀) y tÎ (t₀,t₀ +Δ), es decir, es creciente en t₀.

Análogamente si f´(t₀)<0, es decreciente en t₀.

Teorema de Rolle.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe c ε (a,b) tal que f´(c) = 0.

Teorema de Cauchy.-

Sean f:[a,b]-->R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c Î (a,b) tal que

[f(b) - f(a)] g´(c) = [g(b) - g(a)] f´(c).

Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos).-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c ε (a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f´(c).

Consecuencias del t.v.m.-

1.- T. del v.m. sobre monotonía.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces

- si f´(t)≥0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].

- si f´(t)≤0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b].

- si f´(t)=0 para todo t ε (a,b) entonces f es constante en [a,b].

2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f´(x) = g´(x) para todo x Î (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x Î [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.

ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION
Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea f : [a, b] -->R, x₀Î (a, b), se dice que f es creciente en x₀si existe un entorno de x₀, E (x₀, h) tal que

Si x0 - h < x < x0	®	f(x) < f(x0)
Si x0 < x < x0 + h	®	f(x0) < f(x)

Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.

Proposición 1 (monotonía).-

Sea f : (a, b)-->R una función derivable y x₀ Î (a, b) . Entonces :

si f´(x₀)>0, f es creciente en x₀.

si f´(x₀)<0, f es decreciente en x₀.

Observación : La condición es suficiente pero no es necesaria. Ej : f(x) = x³

Proposición 2.-

Sea f : (a, b)-->R una función, x₀Î (a,b),f derivable en x₀ y creciente (decreciente). Entonces f ´(x₀) ≥0 (f´(x₀) ≤ 0).

Máximos y mínimos relativos. Condiciones para la determinación de extremos.-

Definición: Sea f : [a, b] -->R, x₀Î (a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo relativo en, x₀ si existe un entorno de x₀, E (x₀, h) tal que "x Î E (x₀, h) se tiene que f(x) ≤ f(x₀) / f(x) ≥ f(x₀).

Condición necesaria.-

f derivable en x₀Î (a, b) y presenta en x₀ un máximo o mínimo, entonces f´(x₀)=0.

Condición suficiente.-

Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x₀Î (a, b) y f derivable en el intervalo (x₀-Δ,x₀ +Δ) contenido en I salvo quizás x₀.

a) si f ´ (x)>0, x Î (x₀-Δ,x₀) (f creciente a la izquierda de x₀)

f ´ (x)<0, x Î (x₀,x₀ +Δ) (f decreciente a la derecha de x₀)

entonces f presente un máximo relativo en x₀.

b) Análogamente para mínimo relativo.

Proposición 2.-

f : [a, b] -->R, x₀Î (a,b) tal que f ´ (x₀)=0 y f " (x₀) ≠ 0.

Entonces :

f"(x₀)>0 entonces x₀es mínimo relativo.

f"(x₀)<0 entonces x₀ es máximo relativo.

Condición necesaria y suficiente.-

Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x₀Î (a, b) tal que f ´(x₀)=0.

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x₀y supongamos que la primera derivada que no se anula en x₀ es f ⁿ⁾(x₀), derivada n-esima de f.

En estas condiciones :

" La condición necesaria y suficiente para que f presente en x₀ un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f ⁿ⁾ (x₀) < 0 ( > 0) será un máximo (mínimo) relativo."

Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

-· Una función f es cóncava en el punto x₀cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x₀, f(x₀)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

-· Una función f es convexa en el punto x₀ cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x₀, f(x₀)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

Si una función f es tal que"x Î (a,b) f"(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b)

Si una función f es tal que "x Î (a,b) f"(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b)

Punto de inflexión

Definición: Un punto x₀ se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad,es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x₀, f(x₀)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria .- Si x₀ es punto de inflexión entonces f"(x₀)= 0

Condición suficiente .- Sea x₀ / f"(x₀)= 0, entonces si además f"´(x₀) ≠ 0, x₀ es punto de inflexión.

Regla de L´Hopital.-

Sea f,g : [a,b]-->R dos funciones verificando :

i) f,g son derivables en (a,b)
ii) g´(x) ≠ 0 para todo x Î (a,b)
iii) Existe	lim	f´(x)	= l Î R (real o ± ∞)
	x ® a	g´(x)
iv)	lim	f(x)	=	lim	g(x)	= 0
	x ® a			x ® a
Entonces existe	lim	f(x)	y su valor es l
	x ® a	g(x)

Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites : 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1^∞ , ∞° y 0°

Representación de funciones

ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACION DE FUNCIONES

	Propiedades de f obtenidas directamente	Caracterización
1.	Dominio (D) de la función Recorrido (R) de la función	x Î D Û Existe y tal que y = f(x) y Î R Û Existe x tal que y= f(x)
2.	Simetrías:
	a) Función par b) Función impar	f(- x) = f(x) Eje de simetría OY f(- x) = - f(x) Centro de simetría el origen
3.	Periodicidad	f(x + T) = f(x) T periodo mínimo
4.	Puntos de corte con los ejes:
	a) Corte con el eje OX b) Corte con el eje OY	f(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos f(0) = y Ninguno o un punto
5.	Regiones de existencia de la función:
	a) Intervalos de positividad b) Intervalos de negatividad	f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX
6.	Ramas infinitas. Puntos en el infinito:
	a) Punto de partida de la gráfica b) Punto de llegada de la gráfica	(- ∞,?) Cuadrantes II o III (+ ∞,?) Cuadrantes I o IV
7.	Asíntotas:
	a) Asíntotas verticales: x = u	lim	f (x) = ± ∞ (a = a, a+, a-)
		x ® a
	b) Asíntotas horizontales: y = k	lim	f(x) = k
		x ® ±∞
	c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n,	lim	f(x)/x = m
		x ® ±∞	m y n Î Â
		lim	[f(x) - m.x = b]
		x ® ±∞	m Î Â
8.	Puntos de discontinuidad	lim	f(x) ≠ f(a)
		x ® a
Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas
9.	Monotonía:
	a) Intervalos de crecimiento b) Intervalos de decrecimiento	f ´ > 0 f ´ < 0
	c) Puntos críticos	f ´(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo f ´(a)=0 y f"(a) < 0 Máximo
10.	Curvatura:
	a) Intervalos de convexidad b) Intervalos de concavidad	f" > 0 f" < 0
	c) Puntos de inflexión	f"(a)= 0 y f"´(a) > 0 Cóncavo - convexo f"(a)= 0 y f"´(a) < 0 Convexo - cóncavo