Análisis Matemático

Derivadas: Estudio de funciones derivables. Teorema de Rolle. Teorema de Cauchy. Teorema del valor medio. Crecimiento y decrecimiento de una función.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

LEMA (de monotonía)

Sea f : I-->R una función. Supongamos que f´(t0)>0 en un punto t0interior. Entonces existe Δ>0 tal que f(s)<f(t0)<f(t) cuando s∈ (t0-Δ,t0) y t∈ (t0,t0 +Δ), es decir, es creciente en t0.

Análogamente si f´(t0)<0, es decreciente en t0.

Teorema de Rolle

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe c ε (a,b) tal que f´(c) = 0.

Teorema de Cauchy

Sean f:[a,b]-->R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c ∈ (a,b) tal que:

[f(b) - f(a)] g´(c) = [g(b) - g(a)] f´(c).

Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos)

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c ε (a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f´(c).

Consecuencias del teorema del valor medio

1.- Teorema del valor medio sobre monotonía

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces:

- si f´(t)≥0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].

- si f´(t)≤0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b].

- si f´(t)=0 para todo t ε (a,b) entonces f es constante en [a,b].

2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f´(x) = g´(x) para todo x ∈ (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x ∈ [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.

ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea f : [a, b] -->R, x0∈ (a, b), se dice que f es creciente en x0si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que:

Si x0 - h < x < x0

f(x) < f(x0)

Si x0 < x < x0 + h

f(x0) < f(x)

Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.

Proposición 1 (monotonía).-

Sea f: (a, b)-->R una función derivable y x0 ∈ (a, b). Entonces:

si f´(x0)>0, f es creciente en x0.

si f´(x0)<0, f es decreciente en x0.

Observación: La condición es suficiente pero no es necesaria. Ej : f(x) = x³

Proposición 2.-

Sea f : (a, b)-->R una función, x0∈ (a,b), f derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces f ´(x0) ≥0 (f´(x0) ≤ 0).

Máximos y mínimos relativos

Condiciones para la determinación de extremos

Definición: Sea f : [a, b] -->R, x0∈ (a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que ∀x ∈ E (x0, h) se tiene que f(x) ≤ f(x0) / f(x) ≥ f(x0).

Condición necesaria

f derivable en x0∈ (a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces f´(x0)=0.

Condición suficiente

Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x0∈ (a, b) y f derivable en el intervalo (x0-Δ,x0 +Δ) contenido en I salvo quizás x0.

a) si f ´ (x)>0, x ∈ (x0-Δ,x0) (f creciente a la izquierda de x0)

f´ (x)<0, x ∈ (x0,x0 +Δ) (f decreciente a la derecha de x0)

entonces f presente un máximo relativo en x0.

b) Análogamente para mínimo relativo.

Proposición 2.-

f : [a, b] -->R, x0∈ (a,b) tal que f ´ (x0)=0 y f " (x0) ≠ 0.

Entonces:

f"(x0)>0 entonces x0es mínimo relativo.

f"(x0)<0 entonces x0 es máximo relativo.

Condición necesaria y suficiente

Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x0∈ (a, b) tal que f ´(x0)=0.

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0), derivada n-esima de f.

En estas condiciones:

" la condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 (> 0) será un máximo (mínimo) relativo."

Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

-· Una función f es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

-· Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

Si una función f es tal que ∀x ∈ (a,b) f"(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b)

Si una función f es tal que ∀x ∈ (a,b) f"(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b)

Punto de inflexión

Definición:

Un punto x0 se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad,es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, f(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria .- Si x0 es punto de inflexión entonces f"(x0) = 0

Condición suficiente .- Sea x0 / f"(x0)= 0, entonces si además f"´(x0) ≠ 0, x0 es punto de inflexión.

Regla de L´Hopital

Sea f,g : [a,b]-->R dos funciones verificando:

i) f,g son derivables en (a,b)

ii) g´(x) ≠ 0 para todo x ∈ (a,b)

iii) Existe

lim

f´(x)

= l ∈ R (real o ± ∞)

x → a

g´(x)

iv)

lim

f(x)

=

lim

g(x)

= 0

x → a

x → a

Entonces existe

lim

f(x)

y su valor es l

x → a

g(x)

Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1 , ∞° y 0°

Representación de funciones

ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACION DE FUNCIONES

 

Propiedades de f obtenidas directamente

Caracterización

1.

Dominio (D) de la función
Recorrido (R) de la función

x ∈ D ⇔ Existe y tal que y = f(x)
y ∈ R ⇔ Existe x tal que y= f(x)

2.

Simetrías:

 

a) Función par
b) Función impar

f(- x) = f(x) Eje de simetría OY
f(- x) = - f(x) Centro de simetría el origen

3.

Periodicidad

f(x + T) = f(x) T periodo mínimo

4-

Puntos de corte con los ejes:

 

a) Corte con el eje OX
b) Corte con el eje OY

f(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos
f(0) = y Ninguno o un punto

5-

Regiones de existencia de la función:

 

a) Intervalos de positividad
b) Intervalos de negatividad

f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX
f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX

6-

Ramas infinitas. Puntos en el infinito:

 

a) Punto de partida de la gráfica
b) Punto de llegada de la gráfica

(- ∞,?) Cuadrantes II o III
(+ ∞,?) Cuadrantes I o IV

7-

Asíntotas:

 

a) Asíntotas verticales: x = u

lim

f (x) = ± ∞ (a = a, a+, a‾)

x → a

 

b) Asíntotas horizontales: y = k

lim

f(x) = k

x → ±∞

 

c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n,

lim

f(x)/x = m

x → ±∞

m y n ∈ ℜ

lim

[f(x) - m.x = b]

x → ±∞

m ∈ ℜ

8-

Puntos de discontinuidad

lim

f(x) ≠ f(a)

x → a

 

Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas

9-

Monotonía:

 

a) Intervalos de crecimiento
b) Intervalos de decrecimiento

f ´ > 0
f ´ < 0

c) Puntos críticos

f ´(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo
f ´(a)=0 y f"(a) < 0 Máximo

10-

Curvatura:

a) Intervalos de convexidad
b) Intervalos de concavidad

f" > 0
f" < 0

c) Puntos de inflexión

f"(a)= 0 y f"´(a) > 0 Cóncavo - convexo
f"(a)= 0 y f"´(a) < 0 Convexo - cóncavo

 

Autor: 

Editor: Fisicanet ®

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet".

Por favor, “copia y pega” bien el siguiente enlace:

¡Gracias!

Logo de Fisicanet