Análisis Matemático

Derivadas: Estudio de funciones derivables. Teorema de Rolle. Teorema de Cauchy. Teorema del valor medio. Crecimiento y decrecimiento de una función.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

LEMA (de monotonía)

Sea f : I-->R una función. Supongamos que f´(t0)>0 en un punto t0interior. Entonces existe Δ>0 tal que f(s)<f(t0)<f(t) cuando s∈ (t0-Δ,t0) y t∈ (t0,t0 +Δ), es decir, es creciente en t0.

Análogamente si f´(t0)<0, es decreciente en t0.

Teorema de Rolle.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe c ε (a,b) tal que f´(c) = 0.

Teorema de Cauchy.-

Sean f:[a,b]-->R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c ∈ (a,b) tal que

[f(b) - f(a)] g´(c) = [g(b) - g(a)] f´(c).

Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos).-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c ε (a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f´(c).

Consecuencias del t.v.m.-

1.- T. del v.m. sobre monotonía.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces

- si f´(t)≥0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].

- si f´(t)≤0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b].

- si f´(t)=0 para todo t ε (a,b) entonces f es constante en [a,b].

2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f´(x) = g´(x) para todo x ∈ (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x ∈ [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.

ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea f : [a, b] -->R, x0∈ (a, b), se dice que f es creciente en x0si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que

Si x0 - h < x < x0

f(x) < f(x0)

Si x0 < x < x0 + h

f(x0) < f(x)

Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.

Proposición 1 (monotonía).-

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

Sea f: (a, b)-->R una función derivable y x0 ∈ (a, b). Entonces:

si f´(x0)>0, f es creciente en x0.

si f´(x0)<0, f es decreciente en x0.

Observación: La condición es suficiente pero no es necesaria. Ej : f(x) = x³

Proposición 2.-

Sea f : (a, b)-->R una función, x0∈ (a,b),f derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces f ´(x0) ≥0 (f´(x0) ≤ 0).

Máximos y mínimos relativos

Condiciones para la determinación de extremos

Definición: Sea f : [a, b] -->R, x0∈ (a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que ∀x ∈ E (x0, h) se tiene que f(x) ≤ f(x0) / f(x) ≥ f(x0).

Condición necesaria

f derivable en x0∈ (a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces f´(x0)=0.

Condición suficiente

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x0∈ (a, b) y f derivable en el intervalo (x0-Δ,x0 +Δ) contenido en I salvo quizás x0.

a) si f ´ (x)>0, x ∈ (x0-Δ,x0) (f creciente a la izquierda de x0)

f ´ (x)<0, x ∈ (x0,x0 +Δ) (f decreciente a la derecha de x0)

entonces f presente un máximo relativo en x0.

b) Análogamente para mínimo relativo.

Proposición 2.-

f : [a, b] -->R, x0∈ (a,b) tal que f ´ (x0)=0 y f " (x0) ≠ 0.

Entonces:

f"(x0)>0 entonces x0es mínimo relativo.

f"(x0)<0 entonces x0 es máximo relativo.

Condición necesaria y suficiente

Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x0∈ (a, b) tal que f ´(x0)=0.

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0), derivada n-esima de f.

En estas condiciones:

" la condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 (> 0) será un máximo (mínimo) relativo."

Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

-· Una función f es cóncava en el punto x0cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

-· Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

Si una función f es tal que∀x ∈ (a,b) f"(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b)

Si una función f es tal que ∀x ∈ (a,b) f"(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b)


Punto de inflexión

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

Definición: Un punto x0 se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad,es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, f(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria .- Si x0 es punto de inflexión entonces f"(x0)= 0

Condición suficiente .- Sea x0 / f"(x0)= 0, entonces si además f"´(x0) ≠ 0, x0 es punto de inflexión.

Regla de L´Hopital

Sea f,g : [a,b]-->R dos funciones verificando:

i) f,g son derivables en (a,b)

ii) g´(x) ≠ 0 para todo x ∈ (a,b)

iii) Existe

lim

f´(x)

= l ∈ R (real o ± ∞)

x → a

g´(x)

iv)

lim

f(x)

=

lim

g(x)

= 0

x → a

x → a

Entonces existe

lim

f(x)

y su valor es l

x → a

g(x)

Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites : 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1 , ∞° y 0°

Representación de funciones

ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACION DE FUNCIONES

 

Propiedades de f obtenidas directamente

Caracterización

1.

Dominio (D) de la función
Recorrido (R) de la función

x ∈ D ⇔ Existe y tal que y = f(x)
y ∈ R ⇔ Existe x tal que y= f(x)

2.

Simetrías:

 

a) Función par
b) Función impar

f(- x) = f(x) Eje de simetría OY
f(- x) = - f(x) Centro de simetría el origen

3.

Periodicidad

f(x + T) = f(x) T periodo mínimo

4-

Puntos de corte con los ejes:

 

a) Corte con el eje OX
b) Corte con el eje OY

f(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos
f(0) = y Ninguno o un punto

5-

Regiones de existencia de la función:

 

a) Intervalos de positividad
b) Intervalos de negatividad

f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX
f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX

6-

Ramas infinitas. Puntos en el infinito:

 

a) Punto de partida de la gráfica
b) Punto de llegada de la gráfica

(- ∞,?) Cuadrantes II o III
(+ ∞,?) Cuadrantes I o IV

7-

Asíntotas:

 

a) Asíntotas verticales: x = u

lim

f (x) = ± ∞ (a = a, a+, a‾)

x → a

 

b) Asíntotas horizontales: y = k

lim

f(x) = k

x → ±∞

 

c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n,

lim

f(x)/x = m

x → ±∞

m y n ∈ ℜ

lim

[f(x) - m.x = b]

x → ±∞

m ∈ ℜ

8-

Puntos de discontinuidad

lim

f(x) ≠ f(a)

x → a

 

Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas

9-

Monotonía:

 

a) Intervalos de crecimiento
b) Intervalos de decrecimiento

f ´ > 0
f ´ < 0

c) Puntos críticos

f ´(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo
f ´(a)=0 y f"(a) < 0 Máximo

10-

Curvatura:

a) Intervalos de convexidad
b) Intervalos de concavidad

f" > 0
f" < 0

c) Puntos de inflexión

f"(a)= 0 y f"´(a) > 0 Cóncavo - convexo
f"(a)= 0 y f"´(a) < 0 Convexo - cóncavo

Autor: 

Editor: Fisicanet ®

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