Análisis Matemático - Diferenciales

Contenido

Apunte de Diferenciales: Resumen y fórmulas: Campos vectoriales. Campos centrales. Campos homogéneos. Teorema de Euler. Teorema de Green. Integrales curvilíneas. Teorema de la divergencia en el plano.

CAMPOS VECTORIALES

DIFERENCIALES EXACTAS

El diferencial:

ω = f.dx + g.dy + h.dz

es exacto si, siendo el campo asociado:

F = (f,g,h)

se cumple que:

Ñω = F Þ Ñω = (f,g,h)

siendo ω (X) el potencial de F, tal que:

f = ω _x

g = ω _y

g = ω _z

ω = ω _x.dx + ω _y.dy + ω _z.dz

CAMPOS CENTRALES

Teorema 3.8.II

Campo conservativo en un abierto conexo (para los puntos P y Q):

∫_C F = ω (Q) - ω (P)

Teorema 3.8.III

Campo conservativo en un abierto conexo:

Teorema 3.8.IV

Campo conservativo continuo en un abierto conexo:

Teorema 3.8.V

Campo conservativo de clase C¹ en un abierto (conexo o no):

CAMPOS HOMOGÉNEOS

Si: F(t.X) = t^α.F(X)

Siendo α el grado de homogeneidad de F.

Teorema de Euler

Si F es homogénea de grado α :

X.ÑF(X) = α .F(X)

Teorema 3.10.II

Siendo F homogénea de grado α ≠ -1 y cumple con 3.8.II

ω (X) = (a + 1)^-1.X.F(X)

para  ² y ³

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN - CAMPOS VECTORIALES

Teorema 3.11.I:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, D dominio regular:

∫_∂D F = 0

Teorema 3.11.II:

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, para A simplemente conexo:

F es conservativo en A.

Teorema 3.11.III:

Si P es laguna, para cualquier circunferencia de centro en P:

Teorema 3.11.IV:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

Teorema 3.11.V:

Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).

Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:

∫_C F = p

p: período del campo F relativo a la laguna P.

Teorema 3.11.VI:

Si p es cero el campo es conservativo (P = laguna)

INTEGRALES CURVILÍNEAS DE FUNCIONES

Centro de masa o baricentro:

Suponiendo δ (x,y,z) = constante:

xG =	∫Cx.ds
	∫Cds
yG =	∫Cy.ds
	∫Cds
zG =	∫Cz.ds
	∫Cds

Si δ (x,y,z) no es constante se incorpora bajo el símbolo de integral en numerador y denominador.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO (Gauss)

Para:

F = (Q,P)

C(t) = (x(t),y(t))

Siendo:

n = [y´(t), -x´(t)]/||C´(t)||

div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y

El Teorema de la divergencia es: