Guía n° 7-a de ejercicios de álgebra
Resolver los siguientes ejercicios
Algunos de los problemas de esta colección están tomados de libros de Matemáticas de principios de siglo. Aún a riesgo de ser anacrónicos tanto en los enunciados como en los datos, es una pena cambiar los mismos, ya que conservan el sabor inequívoco de esa época.
Problema n° 1
Hallar cinco números enteros consecutivos cuya suma sea 60.
Problema n° 2
En una fábrica trabajan 50 operarios entre hombres y niños, de los cuales los niños están en mayor número. Entre todos cobran diariamente 1.050 pesetas. A cada hombre se le pagan tantas pesetas como niños hay, y a cada niño tantas pesetas como hombres hay. ¿Cuántos hombres y niños trabajan en la fábrica?
Problema n° 3
Descomponer el número 48 en dos partes, tales que dividiendo una por otra se obtenga 3 de cociente y 4 de resto.
Problema n° 4
Hallar dos números enteros consecutivos, sabiendo que la diferencia de sus cubos es 397.
Problema n° 5
Una persona cambia monedas de 1 pta. por monedas de 2,50 pesetas sin ganar ni perder en el cambio, resultando que al final tiene 15 monedas menos. ¿Cuánto dinero tiene?
Problema n° 6
Dividir 273 pesetas entre dos personas, de manera que la parte de la primera sea ⅖ de la parte de la segunda.
Problema n° 7
Dos capitales están en razón 5/4. Si el primero disminuye en 2.500 pesetas y el segundo se aumenta en un 12,5 %, entonces la razón de los capitales es 25/24. ¿A cuánto ascienden éstos?
Problema n° 8
Dos números enteros consecutivos son tales que la mitad del menor más el mayor, excede en 13 a ⅕ del menor más 1/11 del mayor. Hállalos.
Problema n° 9
Hallar un número de tres cifras divisible por 11, tal que la suma de sus cifras sea 10, y la diferencia entre dicho número y el obtenido invirtiendo el orden de sus cifras sea 297.
Problema n° 10
Dos personas compran tela de distinta clase. Entre ambas compran 55 m y cada una de ellas gasta el mismo dinero. Si la primera persona hubiera comprado los metros que compró la segunda habría gastado 360 pesetas. Y si la segunda hubiera comprado los metros que compró la primera su gasto sería de 250 pesetas. ¿Cuántos metros compró cada una y a qué precio?
Problema n° 11
Encontrar tres números enteros consecutivos, sabiendo que el cociente de su producto entre su suma es igual a 5.
Problema n° 12
La razón de dos números es ¾. Si se suman 10 unidades a cada uno de ellos la razón de los nuevos números es 11/14. Hállalos.
Problema n° 13
Por 1.200 pesetas se ha comprado un cierto número de libros de igual precio. Si cada libro se hubiera pagado 10 pesetas más caro se habrían comprado 4 libros menos. ¿Cuánto cuesta cada libro y cuántos libros se han comprado?
Problema n° 14
Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10 l de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los ⅘ del agua contenida en B, y éste se llenaría si se añadiesen los ¾ del agua contenida en A. Se desea saber el agua contenida en cada vaso y su capacidad
Problema n° 15
Entre 15 amigos han de pagar una deuda de 1.380 pesetas. Como algunos de ellos no tienen dinero, cada uno de los restantes han pagado 23 pesetas más que las que les correspondían. ¿Cuántos son los amigos que no tienen dinero?
Problema n° 16
Un almacenista compra 11 sillas a 350 pesetas cada una. Se estropean un cierto número de ellas por lo que para no perder dinero vende cada una de las restantes aumentando el precio de venta en tantas veces 50 pesetas como sillas se han roto. Hallar el número de sillas estropeadas.
Problema n° 17
Hallar un número de tres cifras, sabiendo que éstas suman 9; la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos y que si del número dado se resta el que resulta de invertir el orden de las cifras, la diferencia es 198.
Problema n° 18
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hay de cada clase si en total hay 156 personas?
Problema n° 19
Un alumno debe sumar 1 a un número, restar de 4 el número dado y multiplicar los resultados. Por error suma 4 al número, resta 1 de dicho número y multiplica los resultados, con lo que ¡oh casualidad! Obtiene lo mismo que si no se hubiera equivocado. No te equivoques tú y halla ese numerito. ¿Vale?
Problema n° 20
En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 61 cabezas y 196 patas. ¿Cuántos bichos hay de cada clase?
Problema n° 21
Para pagar una cuenta de 2.400 pesetas un turista entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo 75 pesetas de vuelta. Y para pagar otra cuenta de 3.200 pesetas entrega 15 libras esterlinas y 9 dólares y 35 pesetas. ¿A qué cambios en pesetas se han cotizado ese día las libras y los dólares?
Problema n° 22
Un grupo de estudiantes organiza una excursión a la vuelta de la esquina y para ello alquilan un autobús cuyo coste es de 540 pesetas. Al salir aparecen 6 alumnos más que están interesadísimos en ir a esa maravillosa excursión por lo que cada uno de los anteriores han de pagar 3 pesetas menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión y cuánto pagó cada uno?
Problema n° 23
En un trayecto de 120 m. La rueda delantera de un coche da 6 vueltas más que la rueda trasera. Si se aumentara la circunferencia de la primera en su quinta parte y de la segunda en su sexta parte la diferencia del número de vueltas sería 4 en el mismo trayecto. ¿Cuántos metros mide cada rueda?
Problema n° 24
Dividir un ángulo recto en tres ángulos, de manera que el segundo sea el doble del primero y el tercero sea igual al triple del primero, disminuido en 18 grados.
Problema n° 25
Hallar dos números tales que su cociente sea igual a su diferencia y que uno de ellos sea igual al quíntuplo del otro, más 6.
Problema n° 26
Hallar la fracción de términos más sencillos que siendo equivalente a 6/11, la diferencia de sus términos sea múltiplo de 7.
Problema n° 27
Hallar una fracción que sea igual a ⅘, y tal que si se le resta 3 a sus dos términos, la fracción resultante es igual a ¾.
Problema n° 28
Hallar una fracción sabiendo que es igual a 1 si se disminuye el numerador en 4 unidades y se aumenta el denominador en 5, y que es igual a 3 si el denominador se disminuye en 7.
Problema n° 29
Hallar una fracción tal que si al numerador se le suma 1 su valor es ⅓, y si ésta unidad se le agrega al denominador su valor es ¼.
Problema n° 30
Halla las edades de tres hermanos, tales que, sumadas dos a dos, dan 5, 7 y 8 años respectivamente.
Problema n° 31
Los reyes de una dinastía tuvieron 9 nombres distintos. La tercera parte de los reyes llevó el primer nombre; la cuarta parte el segundo; la octava parte el tercero; la doceava parte el cuarto, y cada uno de los nombres restantes los llevó un solo rey. Halla el número de reyes de la dinastía.
Problema n° 32
Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades; en total viajan 65. Colocados en orden decreciente los números de personas de cada país son ⅔ del anterior. ¿Cuántos viajeros hay de cada país?
Problema n° 33
Llevo recorridos 7/15 de un camino y aún me queda ⅓ de kilómetro para llegar a la mitad. ¿Qué longitud tiene el camino?
Problema n° 34
Pedro y Juan emplean 360 pesetas cada uno en comprar libros. El precio de los adquiridos por Juan excede en 30 pesetas al de los comprados por Pedro, quien ha comprado 2 libros más que Juan. Averigua el precio de los libros adquiridos por cada uno de ellos.
Problema n° 35
Rafael y Angel tienen 45 manzanas. Dice Rafael a Angel: "Dame 5 manzanas y así tendré el doble que tú". ¿Cuántas tiene cada uno?
Problema n° 36
Se deben llenar dos toneles de 54 y de 60 l de capacidad con dos clases de vino. El costo del litro de vino del segundo tonel es 9/10 del costo del litro del otro vino. Habiéndose cambiado los dos toneles, el importe total sufre un aumento de 30 pesetas. Hallar el valor del litro de vino de cada clase.
Problema n° 37
Se desea distribuir 3.950 pesetas entre tres personas, de tal modo que a la segunda corresponda los ⅘ de lo que corresponde a la primera y a la tercera los ⅚ de lo de la segunda. ¿Cuánto corresponde a cada una?
Problema n° 38
Se han consumido ⅞ partes de un bidón de aceite. Reponiendo 38 l ha quedado lleno hasta sus ⅗ partes. Calcula la capacidad del bidón.
Problema n° 39
Se han vendido 4/11 de una cierta cantidad de vino a 440 pesetas/l, ⅓ a 520 pesetas/l, y el resto a 340 pesetas/l, recaudándose en total 11.600 pesetas. ¿Cuántos litros se han vendido?
Problema n° 40
Se importan del extranjero un cierto número de toneladas de una mercancía que ha de venderse a 800 pesetas/Tm. Por avería en el transporte se inutilizan 150 Tm y, con objeto de que la ganancia sea la que se había propuesto, se vende cada Tm del resto a 1.000 pesetas. ¿Cuántas toneladas se importaron?
Problema n° 41
Si al producto de un cierto número por ⅗ le restamos 20, y la diferencia resultante se divide por 211,25 se obtiene 1.088. Halla ese número.
Problema n° 42
Si la estatura de Carlos aumentase en el triple de la diferencia de las estaturas de Antonio y Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Hallar las estaturas de los tres sabiendo que entre todos miden 515 cm, y que la estatura de Antonio es 9/8 de la de Carlos.
Problema n° 43
Sobre una camioneta que pesa 3 Tm se cargan tres bidones. El doble del peso del primero menos el triple del peso del tercero es 4 kg, el quíntuplo del peso del segundo menos ⅓ del peso del tercero es 50 kg. Hallar el peso de los tres bidones sabiendo que la camioneta más los tres bidones pesa 3.275 kg.
Problema n° 44
Tengo tres barriles y 600 l de vino que distribuyo en partes iguales en cada barril. El primero se llena hasta sus ⅔ partes; el segundo hasta sus ⅘. ¿Qué fracción del tercero se llenará sabiendo que su capacidad es la suma de las capacidades de los otros dos?
Problema n° 45
Tengo una jarra y una botella llenas de agua. Si vacío los ⅖ de la primera me queda lo mismo que si vacío ⅓ del contenido de la botella. Sabiendo que la cantidad de agua que me queda entre las dos es medio litro, calcular las capacidades de la jarra y de la botella.
Problema n° 46
Una cierta cantidad de dinero se reparte entre varias personas. Si el número de éstas aumenta en 3, cada una de ellas recibe 25 pesetas menos, pero si disminuye en 2, entonces cada persona recibe 25 pesetas más. Encontrar el número de personas y el dinero que se reparte.
Problema n° 47
Una factura de 760 pesetas se ha pagado con monedas de 50, 25 y 5 pesetas. El número de monedas de 50 pesetas es el doble que el de las de 25, y las de 5 son la sexta parte de las primeras. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?
Problema n° 48
Un rectángulo tiene 48 m² de área y 10 m de diagonal. Encontrar la longitud de sus lados.
Problema n° 49
Una madre distribuye un paquete de caramelos entres sus tres hijos. Al primero le da la mitad de los caramelos más 2; al segundo la mitad de los que quedan más 2, y al tercero la mitad del resto más 2. Después de repartidos no le queda ningún caramelo. ¿Cuántos caramelos se han repartido?
Problema n° 50
Una octava parte de los alumnos de una curso no pueden ir a una excursión. Concertada ésta, por sacar horrendas notas en Matemáticas los ⅗ de los que pensaban ir pierden el permiso de sus padres, y además, el día del viaje, pierden el tren 1/21 de los que quedaban. Al final van a la excursión 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos tenía el curso?
Problema n° 51
Una persona, al morir deja dinero de la siguiente forma: ½ del dinero a la Sociedad Protectora de Boniatos Silvestres (S.P.B.S.), ⅕ al Partido de Promoción Personal (P.P.P.), ⅑ al Cohombro Fútbol Club (C.F.C.), y 45.360 pesetas a su perro Bonifacio (no tiene siglas de identificación). ¿Cuánto fue el dinero que legó a éstas importantes sociedades?
Problema n° 52
Una torre B tiene de altura los 4/3 de otra torre A más 1 m. Una tercera torre C tiene 4/3 de la torre B más 2 m. Sabiendo que la torre C es doble de alta que la A, ¿qué altura tiene cada torre?
Problema n° 53
Un automóvil al salir de viaje lleva de gasolina una cierta cantidad en su depósito. El viaje lo hace en dos etapas: en la primera consume ⅕ de la gasolina. En la segunda ¼ de lo que quedaba. Al final del trayecto acaba con 30 l. ¿Con cuántos litros emprendió el viaje?
Problema n° 54
Un comerciante compra por 16.200 pesetas una partida de sacos de café. Un segundo pedido le cuesta la misma cantidad, pero cada saco le cuesta 270 pesetas más, habiendo 2 sacos menos. Calcular el precio de cada saco y el número de éstos en la primera partida.
Problema n° 55
Un labrador debe suministrar a otro una cierta cantidad de trigo, recibiendo a cambio 2.000 pesetas y una cierta cantidad de vino y aceite. El primero sólo puede entregar ⅚ de la cantidad de trigo prometida, por lo que recibe 1.000 pesetas, más la cantidad de vino y aceite convenida. Hallar el valor del vino y el aceite.
Problema n° 56
Un labrador vende la uva recogida en una cosecha de la siguiente forma: 7/20 a 265 pesetas el Qm, 9/13 de la parte restante a 296 pesetas el Qm, y el resto, que son 12 Qm a 312 pesetas el Qm. Averiguar el número de quintales métricos vendidos y su importe total.
Problema n° 57
Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 45 pesetas y otros a 36 pesetas, y obtuvo de la venta 3.105 pesetas. ¿Cuántos hay de cada clase?
Problema n° 58
Un negociante recorre tres plazas; en la primera duplica su dinero y gasta 1.000 pesetas.; en la segunda triplica el dinero restante y gasta 1.800 ptas; en la tercera cuadruplica el dinero que le queda y gasta 2.400 pesetas. Halla el dinero con que salió, sabiendo que regresó con 1.920 pesetas.
Problema n° 59
Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, ⅖ del resto sumergido en el agua, y la parte emergente mide 6 m. Halla su altura.
Problema n° 60
Un terreno de 4.500 m². ha sido adquirido al precio de 85 pesetas/m². Los 5/9 del mismo fueron vendidos a 150 pesetas/m² y los 7/10 del resto a 165 pesetas/m². Vendida la parte sobrante se obtiene una ganancia de 450.000 pesetas. Halla qué fracción de todo el terreno es la última parte vendida y a qué precio el m²
Problema n° 61
Dos personas poseen respectivamente 4.000 y 3.500 pesetas. Después de realizadas compras por el mismo valor, la segunda tiene ⅚ de lo que le queda a la primera. Halla el importe de la compra realizada.
Problema n° 62
En una población de 6.000 habitantes, en un determinado año, se han casado el 15 % de las mujeres con el 10 % de los hombres, realizándose todos los matrimonios exclusivamente entre habitantes de dicha población. Calcular el número de hombres y mujeres de dicha población.
Problema n° 63
En unos exámenes son eliminados en el ejercicio escrito la cuarta parte de los alumnos presentados, y en el siguiente la quinta parte de los que quedaron. Al final aprobaron 744 alumnos. ¿Cuántos alumnos se presentaron al examen?
Problema n° 64
Se han de repartir 720 pesetas entre algunas personas, pero 4 de ellas renuncian a su parte, con lo cual las otras cobran 6 pesetas más. ¿Cuántas eran las personas que había al principio y cuánto dinero les correspondía?
Autor: Enrique Pascual Orellana. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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