Problema n° 24 de ecuaciones diferenciales
Enunciado del ejercicio n° 24
y" + 4·y = sen x + sen 2·x
Cálculo de las raíces:
λ² + 4 = 0
λ² = -4
λ = √-4
λ = √i²·4
λ1 = 2·i
λ2 = -2·i
La integral homogénea es:
y* = c1·cos 2·x + c2·sen 2·x
Cálculo de la integral particular:
y1 = a·sen x + b·cos x
y2 = c·x·sen 2·x + d·x·cos 2·x
Sus derivadas son:
y'1 = a·cos x - b·sen x
y"1 = -a·sen x - b·cos x
y'2 = c·sen 2·x + 2·c·x·cos 2·x + d·cos 2·x - 2·d·x·sen 2·x
y"2 = 4·c·cos 2·x - 4·c·x·sen 2·x - 4·d·sen 2·x - 4·d·x·cos 2·x
Debe verificar:
y"1 + 4·y1 = sen x
-a·sen x - b·cos x + 4·(a·sen x + b·cos x) = sen x
-a·sen x - b·cos x + 4·a·sen x + 4·b·cos x = sen x
3·a·sen x + 3·b·cos x = sen x
Luego:
3·a = 1 ⇒ a = ⅓
3·b = 0 ⇒ b = 0
y"2 + 4·y2 = sen 2·x
4·c·cos 2·x - 4·c·x·sen 2·x - 4·d·sen 2·x - 4·d·x·cos 2·x + 4·(c·x·sen 2·x + d·x·cos 2·x) = sen 2·x
4·c·cos 2·x - 4·c·x·sen 2·x - 4·d·sen 2·x - 4·d·x·cos 2·x + 4·c·x·sen 2·x + 4·d·x·cos 2·x = sen 2·x
4·c·cos 2·x - 4·d·sen 2·x = sen 2·x
-4·d = 1 ⇒ d = -1/4
4·c = 0 ⇒ c = 0
La integral particular es:
y1 = (sen x)/3
y2 = x·(cos 2·x)/4
Luego la integral general es:
yp = y* + y1 + y2 = C1·cos 2·x + C2·sen 2·x + (sen x)/3 + x·(cos 2·x)/4
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales