Análisis Matemático - Modelos de examen

Modelo de Final para Algebra

1) Sean: S1 = {x Î R³ : x-y + z = 0} S2 = { x Î R³ : x = y}

Hallar, si es posible, una transformación ortogonal T: R³ ® R³ tal que (T(S₁))ˆS₂

2) Sea P₂ el conjunto de polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2 y T: P2 ® P2

definida por

T(a₀ + a₁t + a₂t ²) = (a₀ + 2a₁ + ca₂) + a₁t + (4a₁ + 3a₂)t ²

Hallar los valores de c para los cuales existe una base de P₂ tal que la matriz de T en esa base es diagonal

3) Sea V un R espacio vectorial con producto interno. Probar que si x e y son vectores ortogonales de V, entonces para todo α Î R

||αx - y ||≥ ||y ||

Es cierto que si α ≥ o entonces ||αx - y ||≥ ||x ||? justificar

4) Sean S y T dos endosmorfismos de un espacio vectorial V tales que ST = TS,

Probar que los subespacios Nu(S) e Im(S) son invariantes por T

5) Resolver la siguiente ecuación

(x-1) ²y.dx + x ²(y + 1).dy = 0

 

Modelo de Final para Algebra

1) Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K de dimensiones n y m respectivamente y sea F: V ® W una transformacion lineal:

a) Probar que F es inyectiva Û existe: G: W ® V tal que GoF = Idv

b) Que puede decirse si F es sobreyectiva?

2) Sea L: P₂ ® R³ definida por

L(1 + x + x ²) = (2, 0, 1)

L(1 + x ²) = (3, 1, 0)

L(x + x ²) = (1, -2, 3)

a) Hallar la matriz de L respecto de las bases {1, x, x2} y la canónica de R3

b) Es posible hallar un polinomio P tal que L(P) = (1, 0, 0)? ¿Es único? Justificar

c) Existen bases B1 de P2 y B2 de R3 tal que la matriz de L en esas bases sea la identidad?

d) Justificar

3) Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y T: V ® V una transformación lineal tal que T ² = T,

demostrar que:

a) Todo vector no nulo de la imagen es autovector.

b) T es diagonalizable

c) Cuanto vale la tr T ¿ ¿ Que forma puede tener la matriz diagonal de T?

4) Hallar,si es posible, una transformación simétrica T: R³ ® R³ tal que

ImT = {x Î R³: x + y-z = 0} y tr T = 4

5) Resolver (e ².^y - y cos(xy))dx + (2xe ².^y - x.cos (xy) + 2y)dy = 0