Matemática - Casos de Factoreo

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Ejercicios de Casos de Factoreo: Factor Común. Trinomio cuadrado perfecto. Cuatrinomio cubo perfecto. Diferencia de cuadrados de igual base. Diferencia de potencias de igual grado.

1) Factorear las siguientes expresiones aplicando factor común:

a) 125.a⁴.b⁵.c⁵ - 45.a⁵.b³.c⁴.x³ + 5.a³.b ².c⁴ - 300.a⁴.b ².c⁸.x - 10.a³.b ².c⁵

b) 3.a ².x³.y + 4.a⁵.x ².y³ - 6.a⁴.x⁶ - 10.a.x⁴

c) 3.m⁶.p⁴.q ² - 9.m⁵.p ².q.x + 3.m⁷.p³.q.x + 3.m⁴.p ².q - 6.m⁵.p⁴.q.x ².y

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2) Factorear las siguientes expresiones por grupos:

a) 2.a.x + 2.b.x + 5.a - a.y - b.y + 5.b

b) a ².y + a.b ² - a.x.y - b ².x

c) 10.a.m ².x.z - 15.b.m ².x.z + 10.a.x - 15.b.x - 8.a.m ².y.z + 12.b.m ².y.z - 8.a.y + 12.b.y

d) 5.a.m.x/3 + 20.a.m.y - 2.b.m.x/3 - 8.b.m.y - 10.a.n.x/9 - 40.a.n.y/3 + 4.b.n.x/9 + 16.b.n.y/3

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3) Factorear las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto:

a) a⁶/4 + 3.a³.m ².n + 9.m⁴.n ²

b) a⁴ + p⁴/4 + a ².p ²

c) 9.x⁶/25 + 4.y ² - 12.x³.y/5

d) -3.x ².y⁶.m/5 + m ²/4 - 9.x⁴.y¹²

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4) Factorear las siguientes expresiones aplicando cuatrinomio cubo perfecto:

a) 64.m⁶ + 96.m ².n + 48.m ².n ² + 8.n³

b) x³/27 - x ².a/3 + x.a ² - a³

c) 0,125 - 0,75.x.y + 1,5.x ².y ² - x³.y³

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5) Factorear las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados:

a) 144.m⁶ - 121.x⁸.y⁴

b) -n ²/4 + a⁴.b⁶/9

c) x ².y ² - (x ² + y ²) ²

d) a⁶.b ²/4 - 0,01.m⁸.n⁴

e) (x - y) ² - a ²

f) 3.z⁴.m ² - 2.y⁶

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6) Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de igual grado:

a) x⁷ + a⁷

b) a³ + 8

c) 27 + y³

d) x⁵ + 1/32

e) x³ - 1/8

f) a⁴ - b⁴.c⁴

g) x³ + 7

h) a¹⁰ - x⁵

i) x⁶ - y⁶

j) x⁶ + y¹²

k) a⁷ - 128.x⁷

l) x⁴ - 3

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7) Factorear las siguientes expresiones:

a) 5.x² - 10.x.y + 5.y²

b) 3.x⁹.y⁷ - 12.x⁷.y⁹

c) a³ - a ² - a + 1

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Respuestas:

1)

a) 5.a³.b².c⁴.(25.a.b³.c - 9.a².b.x³ + 1 - 60.a.c⁴.x - 2.c)

b) a.x².(3.a.x.y + 4.a⁴. y³ - 6.a³.x⁴ - 10.x²)

c) 3.m⁴.p².q.(m².p².q - 3.m.x + m³.p.x + 1 - 2.m.p².x².y)

 

2)

a) (2.a.x + 2.b.x) - (a.y + b.y) + (5.a + 5.b) =

= 2.x.(a + b) - y.(a + b) + 5.(a + b) =

= (a + b).(2.x - y + 5)

 

b) (a².y + a.b²) - (a.x.y + b².x) =

= a.(a.y + b²) - x.(a.y + b²) =

= (a.y + b²).(a - x)

 

c) 5.m².x.z.(2.a - 3.b) + 5.x.(2.a - 3.b) - 4.m².y.z.(2.a - 3.b) - 4.y.(2.a - 3.b) =

= (2.a - 3.b).(5.m².x.z + 5.x - 4.m².y.z - 4.y) =

= (2.a - 3.b).[(5.m².x.z + 5.x) - (4.m².y.z + 4.y)] =

= (2.a - 3.b).[5.x.(m².z + 1) - 4.y.(m².z + 1)] =

= (2.a - 3.b).(m².z + 1).(5.x - 4.y)

 

d) (5.a.m.x/3 + 20.a.m.y) - (2.b.m.x/3 + 8.b.m.y) - (10.a.n.x/9 + 40.a.n.y/3) + (4.b.n.x/9 + 16.b.n.y/3) =

= 5.a.m.(x/3 + 4.y) - 2.b.m.(x/3 + 4.y) - (10/3).a.n.(x/3 + 4.y) + (4/3).b.n.(x/3 + 4.y) =

= (x/3 + 4.y).(5.a.m - 2.b.m - (10/3).a.n + (4/3).b.n) =

= (x/3 + 4.y).[m.(5.a - 2.b) - (2/3).n.(5.a - 2.b)] =

= (x/3 + 4.y).[(5.a - 2.b).(m - 2.n/3)]

 

3)

a) Como:

a⁶/4 = (a³/2)²

9.m⁴.n² = (3.m².n)²

3.a³.m².n = 2.(a³/2).(3.m².n)

Por lo tanto:

(a³/2 + 3.m².n)²

 

b) Como:

a⁴ = (a²)²

p⁴/4 = (p²/2)²

a².p² = 2.a².p²/2

Por lo tanto:

(a² + p²/2)²

 

c) Como:

9.x⁶/25 = (3.x³/5)²

4.y² = (2.y)²

- 12.x³.y/5 = -2.2.y.3.x³/5

Por lo tanto:

(2.y + 3.x³/5)²

 

d) Si bien:

9.x⁴.y¹² = (3.x².y⁶)²

m²/4 = (m/2)²

No se cumple:

-3.x².y⁶.m/5 ≠ - 2.3.x².y³.m/2

Además uno de los términos al cuadrado es negativo.

 

4)

 

5)

a) (12.m³)² - (11.x⁴.y²)² = (12.m³ - 11.x⁴.y²).(12.m³ + 11.x⁴.y²)

 

b) (a².b³/3)² - (n/2)² = (a².b³/3 - n/2).(a².b³/3 + n/2)

 

c) (x.y)² - (x² + y²)² = [x.y - (x² + y²)].[x.y + (x² + y²)]

 

d) (a³.b/2)² - (0,1.m⁴.n²)² = (a³.b/2 - 0,1.m⁴.n²).(a³.b/2 + 0,1.m⁴.n²)

 

e) (x - y)² - a² = (x - y - a).(x - y + a)

 

f) 3.z⁴.m² - 2.y⁶ = (√3.z².m)² - (√2.y³)² = (√3.z².m - √2.y³).(√3.z².m + √2.y³)

 

6)

 

7)

a) 5.x² - 10.x.y + 5.y² = 5.(x² - 2.x.y + y²) = 5.(x - y)²

b) 3.x⁹.y⁷ - 12.x⁷.y⁹ = 3.x⁷.y⁷.(x² - 4.y²) = 3.x⁷.y⁷.(x - 2.y).(x + 2.y)

c) a³ - a ² - a + 1 = (a³ - a²) - (a - 1) = a².(a - 1) - (a - 1) = (a² - 1).(a - 1) = (a - 1).(a + 1).(a - 1) = (a - 1)².(a + 1)