Matemática - Funciones

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Apunte de Funciones: Concepto de función. Función real de variable real. Representación de una función.

FUNCIONES

Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones.

Se inicia recordando el concepto de función y dando algunas nociones básicas sobre funciones, para dar paso al estudio del límite de una función, cálculo de límites de funciones y continuidad.

En este tema la intuición juega un papel definitivo. Se ha procurado evitar en lo posible las formalizaciones rigurosas, ya que muchas veces formalizar lo que intuitivamente está claro no aporta más claridad.

De los tres conceptos que se estudian es este capítulo, funciones, límites y continuidad, el primero y el último son muy sencillos de comprender.

Las funciones están presentes en la vida cotidiana: « espacio que recorre un móvil en función del tiempo », «crecimiento de una planta en función del tiempo», « coste de cierto papel en función de la cantidad », «aumento o disminución de la temperatura del agua en función del tiempo», ...

Una línea continua es una línea que no se corta, que no se rompe, que se puede dibujar en un papel sin levantar el lápiz.

La representación gráfica de una función continua es una línea continua.

El concepto de límite de una función es algo más complejo, a pesar de explicarse como un paso intermedio entre las funciones y la continuidad.

CONCEPTO DE FUNCION

Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

Se presenta por f:D ® I

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom(f).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x).

El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f)) o recorrido de la función (f(D)).

f:D ® I

x ® f(x) = y

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R

f:D ® R

x ® f(x) = y

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

- El conjunto inicial o dominio de la función.

- El conjunto final o imagen de la función.

- La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ® R

x ® x ²

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

Im(f) = R⁺

La regla de asignación es «dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen».

Ejemplo: cálculo de campos de existencia de una función

1) Hallar el campo de existencia de la función f definida por f(x) = 1/(x - 2)

Resolución:

- La función anterior asigna a cada número x, el valor

1/(x - 2)

El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f.

La expresión 1/(x - 2) está definida para todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 1/0 no es un número real. El denominador x - 2 se anula cuando x = 2.

Por tanto, el campo de existencia de la función es R - {2}.

Su representación mediante intervalos es C.E. = (-∞, 2) È (2, +∞)

2) Hallar el campo de existencia de la función g(x) = +

Resolución:

- La expresión + está definida cuando el radicando es mayor o igual que cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el conjunto de los números reales.

Por tanto, se trata de hallar qué valores de x hacen que x ² - 9 ≥ 0.

- x ² - 9 ≥ 0 Þ x ² ≥ 9 Þ |x| ≥ 3 Þ -3 ≤ x ≤ 3.
Luego C.E. = (-∞, -3] È [3, + ∞).

3) Hallar el campo de existencia de la función definida por h(x) = 1/(x ² - x - 6)

Resolución:

- La expresión 1/(x ² - x - 6) está definida cuando el denominador no se anula.

x ² - x - 6 = 0

x_1,2 = (1 ± √1 + 24)/2

x₁ = 3

x₂ = -2

- Por tanto, al campo de existencia pertenecen todos los números reales excepto el 3 y el -2.

C.E. = (-∞, -2) È (-2, 3) È (3, +∞).

4) Dada la función f, definida por f(x) = , hallar la imagen de los números -3, 0, 3 y 5. ¿Cuál es su dominio de definición? ¿Hay algún número que se transforme en el 0?

Resolución:

f(-3) = = 1/√11

f(0) = 1/√2

f(3) = = 1/√11

f(5) = = 1/√27

- Campo de existencia:

El denominador nunca se hace cero, ya que x ² + 2 > 0 para cualquier x. Si x ² + 2 < 0, no existiría y por lo tanto la función no estaría definida en esos puntos, pero x ² + 2 > 0 (es más x ² + 2 ≥ 2, ya que x ² ≥ 0). Por lo tanto, el campo de existencia de esta función es toda la recta real R.

- Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si existe algún número x, tal que f(x) = 0.

Si = 0 Þ 1 = 0. Absurdo. Así pues el 0 no es imagen de ningún número.

REPRESENTACION DE UNA FUNCION

La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento.

Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f(x) del conjunto imagen.

El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función.

Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función.

Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.

Ejercicio: representación gráfica de funciones

Representar gráficamente la función definida por

f(x) =

-2 si x ≤ 0 3 si x > 0

Resolución:

Esta función toma el valor -2 para todos los puntos cuya abscisa sea negativa o cero, y toma el valor 3 para todos los puntos cuya abscisa sea positiva. En este caso

Im(f) = {-2, 3}.