Matemática - Funciones

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Apunte de Funciones: Operaciones con funciones.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejercicio: operaciones con funciones

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

- La función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.

- (f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

Dadas las funciones f (x) = x ² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x ² - 3 - (x + 3) = x ² - 3 - x - 3 = x ² - x - 6

- (f - g)(1/3) = (1/3) ² - 1/3 - 6 = - 56/9
- (f - g)(-2) = (-2) ² - (-2) - 6 = - 0
- (f - g)(0) = (0) ² - 0 - 6 = - 6
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3) Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.

Resolución:

- (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x ² - 11.x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2.x + 3)

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

(f/g)(-1) = 0/1 = 0

(f/g)(2) = -3/7

(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5) Dada la función f(x) = x ² + x - 2, calcular 3.f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

- (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x ² + x - 2) = 3.x ² + 3.x - 6

(1/3).f(x) = (1/3).(x ² + x - 2)
- (3.f)(2) = 3.2 ² + 3.2 - 6 = 12

- (3.f)(1) = 3.1 ² + 3.1 - 6 = 0

- (3.f)(0) = 3.0 ² + 3.0 - 6 = - 6

COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)] .

La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

R

f -- ®

R

g -- ®

R

x ® f(x) ® g.[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio: composición de funciones

Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x ².

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

- (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3) ²

R

f -- ®

R

g -- ®

R

x ® f(x) = x + 3 ® g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3) ²

- La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4 ² = 16

(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3 ² = 9

(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0 ² = 0

Dadas las funciones f(x) = x ² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:

a) (g o f) (x)

b) (f o g) (x)

c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)

d) El original de 49 para la función g o f.

Resolución:

a) La función g o f está definida por:

R

f -- ®

R

g -- ®

R

x ® f(x) = x ² + 1 ® g.[f(x)] = g.(x ² + 1) = 3.(x ² + 1) - 2 = 3.x ² + 3 - 2 = 3.x ² + 1

b) La función f o g está definida por:

R

g -- ®

R

f -- ®

R

x ® g(x) = 3.x - 2 ® f.[g(x)] = (3.x - 2) ² + 1 = 9.x ² + 4 - 12.x + 1 = 9.x ² - 12.x + 5

Obsérvese que g o f ≠ f o g.

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f)(1) = 9.1 ² - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9.(-1) ² - 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f) (x) = 3 x ² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3.x ² + 1 = 49 Þ x ² = 16 Þ x = ±4