Matemática - Funciones

Contenido

Apunte de Funciones: Cálculo de logaritmos. Logaritmos decimales y logaritmos naturales. Cambio de base. Funcion logaritmo. Representacion gráfica. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logaritmicas.

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

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Continuación

Ejercicio: cálculo de logaritmos

Sabiendo que log ₁₀ 2 = 0,301030 y log ₁₀ 3 = 0,477121, calcular log ₁₀ 6, log ₁₀ 8, log ₁₀ 3/2,

Resolución:

Para obtener los logaritmos pedidos a partir del logaritmo de 2 y de 3, hay que expresar los números 6; 8; 3/2 y 3,6 en función de 2 y 3.

- log ₁₀ 6 = log₁₀ (2·3) = log₁₀ 2 + log₁₀ 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151

- log ₁₀ 8 = log₁₀ 2³ = 3 log₁₀ 2 = 3 · 0,301030 = 0,903090

- log ₁₀ 3/2 = log ₁₀ 3 - log ₁₀ 2 = 0,477121 - 0,301030 = 0,146091

- (2.log ₁₀ 2 + 2.log ₁₀ 3 - log ₁₀ 10)/3 =
= (2.0,301030 + 2.0,477121 - 1)/3 = 0,185434
2) Calcular log ₂ 64, log _1/2 4, log ₇ 1/7

Resolución:

log₂ 64 = log₂ 2⁶ = 6 log₂ 2 = 6 · 1 = 6

- log _1/2 4 = log _1/2 (1/2)^-2 = -2

- log ₇ 1/7 = log ₇ 1 - log ₇ 7 = 0 - 1 = 1-

3) Desarrollar el logaritmo de la expresión:

B =

Resolución:

El desarrollo del logaritmo es independiente de la base que se tome, por lo tanto se prescindirá de ella.

log B = log = log (x.y³) - log x + 3.log y - (log 2 + 4.log z)/3 =
= log x + 3.log y -
3) Desarrollar el logaritmo de la expresión: C =

Resolución:

log C = =

Obtener la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo:

Resolución:

En este caso se trata de hacer el proceso inverso que en los casos anteriores.

Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:

log _x 8 = 1/2; log _x 1/9 = -2; log ₂₇ x = 1/3; log ₁₀ 0,01 = x; log _1/2 x = -1

Resolución:

log _x 8 = 1/2 Þ x^1/2 = 8 Þ √x = 8 Þ x = 8 ² Þ x = 64

log _x 1/9 = -2 Þ x^-2 = 1/9 Þ 1/x ² = 1/9 Þ x ² = 9 Þ x = 3

log ₁₀ 0,01 = x Þ 10^x = 0,01 Þ 10^x = 1/100 Þ 10^x = 1/10 ² = 10^-2 Þ x = -2

log _1/2 x = -1 Þ (1/2)^-1 = x Þ 2 = x

LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES

De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.

Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:

log₁₀ X = log X

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.

Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:

log 1 = 0; puesto que 10° = 1. ® log 10 000 = 4; puesto que 10⁴ = 10 000.

log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10. ® log 0,1 = -1; puesto que 10^-1 = 0,1.

Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:

log_e X = ln X = LX

Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:

ln 1 = 0; puesto que e° = 1

ln e ² = 2; puesto que e ² = e ²

ln e^-1 = -1; puesto que e^-1 = e^-1

El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión

Su valor, con seis cifras decimales, es

e = 2,718281...

CAMBIO DE BASE

Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.

Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ...

Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:

log _b x = log _a x/log _a b

Demostración:

Sea:

log a x = A Þ aA = x log b x = B Þ bB = x

Þ aA = bB

Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:

log_a a^A = log_a b^B Þ A log_a a = B log_a b

Despejando B, y teniendo en cuenta que log_a a = 1, se tiene:

B = A/log _a b

es decir,

log _b x = log _a x/log _a b

Ejercicio: cambios de base de logaritmos

Sabiendo que log₂ 8 = 3, calcular log₁₆ 8

Resolución:

Aplicando la fórmula, log ₁₆ 8 = log ₂ 8/log ₂ 16 = 3/4 = 0,75

Sabiendo que log ₃ 27 = 3, calcular log ₉ 27

Resolución:

log ₉ 27 = log ₃ 27/log ₃ 9 = 3/2 = 1,5

Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log₇ 2.

Resolución:

log ₇ 2 = log 2/log 7 = 0,301030/0,845098 = 0,356207

Relación entre logaritmos decimales y neperianos

Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:

ln X = log X / log e, donde log e = 0,434294

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:

ln X = ln X / ln 10, donde ln 10 = 2,302585
Relación entre los logaritmos en base a y en base 1/a

log_1/a X = -log_a X

Relación entre log _a b y log _b a

log _b a = log _a a/log _a b = 1/log _a b

Los logaritmos log_a b y log_b a son inversos.

Ejercicio: cambio de base

Dado el log 25 = 1,397940, calcular ln 25.

Resolución:

ln 25 = log 25/log e = 1,397940/0,434294 = 3,218879

Dado el ln 17 = 2,833213, calcular log 17.

Resolución:

log 17 = ln 17/ln 10 = 2,833213/2,302585 = 1,230448

Calcular log_1/6 216, sabiendo que log₆ 216 = 3.

Resolución:

log_1/6 216 = -log₆ 216 = -3

Calcular log₃ 10, sabiendo que log 3 = 0,477121.

Resolución:

log ₃ 10 = 1/log 3 = 1/0,477121 = 2,095904

Calcular log ₅ e, sabiendo que ln 5 = 1,609437.

Resolución:

log ₅ e = 1/ln 5 = 1/1,609437 = 0,621335

FUNCION LOGARITMO - REPRESENTACION GRAFICA

La función logarítmica de base a es aquella función que asigna a cada número su logaritmo en base a.

Puesto que los números negativos no tienen logaritmo, la función logarítmica se define en el conjunto de los números reales positivos excluido el cero, y toma valores en el conjunto de los números reales.

log _a: R⁺ - {0} ® R

x ® log _a x

R⁺ - {0}

representa al conjunto de los números reales positivos, excluido el cero.

R⁺ - {0} = (0, +∞)

En la representación gráfica de la función logarítmica conviene distinguir dos casos:

A) Función logarítmica de base mayor que 1:

a > 1

La representación gráfica pone de relieve los principales resultados sobre logaritmos:

El logaritmo de 1 es cero: log_a 1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

log_a a = 1.

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo negativo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo positivo.

La función es creciente.

B) Función logarítmica de base menor que 1:

a < 1

En la representación gráfica se observa que:

El logaritmo de 1 es cero: log_a 1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

log_a a = 1.

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo positivo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo negativo.

La función es decreciente.

Ejercicio: representaciones gráficas (función logarítmica)

Representar gráficamente la función y = log₂ x.

Resolución:

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x	y
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8	-3 -2 -1 0 1 2 3

Representar gráficamente la función y = log _1/2 x.

Resolución:

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x	y
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8	3 2 1 0 -1 -2 -3

Representar en unos mismos ejes de coordenadas las funciones

y = log ₂ x.y = ln x.y = log₁₀ x.

RELACION FUNCION LOGARITMO Y EXPONENCIAL

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con:

1°. Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones.

2°. Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función.

En este caso:

1°. En la función logarítmica y = log _a x se intercambia x por y,

obteniendo: x = log _a y.

2°. Despejando la variable y en x = log_a y, se tiene y = a^x, es decir la función exponencial.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Representando en un mismo diagrama las funciones y = log _a x e y = a^x, los resultados son estas gráficas.

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARITMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.

Por ejemplo,

log x + log y³ = 5 log x/y = 1

Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas

Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.

Una vez conseguido, se aplica la equivalencia

log A = log B Û A = B,

deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

Ejercicio: resolución de ecuaciones logarítmicas

Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).

Resolución:

log x ² = log 10 + log (x - 0´ 9)

log x ² = log [10 (x - 0´ 9)] Þ x ² = 10 (x - 0´ 9)

x ² = 10. x - 9 Þ x ² - 10 x + 9 = 0

x = (10 ± √100 - 4.9)/2 = (10 ± √64)/2 = (10 ± 8)/2 = 5 ± 4

Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1

2) Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2

Resolución:

log x³ - log 32 = log x/2 Þ log x³/32 = log x/2 Þ x³/32 = x/2 Þ x³ - 16.x = 0

x no puede ser cero pues no existe log 0

x ² = 16 Þ x = ±4

La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.

Ejercicio: ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos

Resolver la ecuación 2^x = 57.

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2^x = log 57

x.log 2 = log 57 Þ x = log 57/log 2 Þ x = 1,7558/0,3010 = 5,8332

2) Resolver la ecuación = 1/40

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros,

log = log 1/40 Þ (1 - x ²).log 5 = log 1 - log 40 Þ log 5 - x ².log 5 = 0 - log 40 Þ

x ² = (- log 40 - log 5)/(- log 5) Þ x ² = (- 1,6020 - 0,6989)/(- 0,6989) Þ x ² = 3,2921 Þ x = 1,8144

Resolver 4³.^x = 8^x + 6.

Resolución:

Expresando 4 y 8 como potencias de dos (2 ²)³.^x = (2³)^x + 6.

Esta ecuación puede escribirse como (2³.^x) ² = 2³.^x + 6.

Haciendo el cambio 2³.^x = y, la ecuación se escribe y ² = y + 6.

Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.

y ² - y - 6 = 0

y = (1 ± √1 + 24)/2 = (1 ± √25)/2 = (1 ± 5)/2

Las dos soluciones son y₁ = 3; y₂ = -2

Para y₁ = 3, 2³.^x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,

log 2³.^x = log 3 Þ 3.x.log 2 = log 3 Þ x = log 3/(3.log 2) Þ x = 0,4771/(3.0,3010) Þ x = 0,5283

Para y₂ = -2, 2³.^x = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 2³.^x es siempre positivo.

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas

1) Resolver el sistema:	log x + log y³ = 5
	log x/y = 1

Resolución:

log xy³ = log 10⁵ Þ xy³ = 10⁵
log x/y = log 10 Þ x/y = 10 Þ x = 10.y

10 y⁴ = 10⁵ Þ y⁴ = 10⁴ Þ y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.)

Como x = 10 y Þ x = 10·10 = 100

2) solucionar el sistema:

Resolución:

log x.y = log 100 Þ x.y = 100

x - y = 20 Þ x = y + 20

(20 + y) y = 100 Þ 20 y + y ² = 100

x = 20 + y Þ x = 20 + (-10 + 10.√2) Þ x = 10 + 10.√2

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