Análisis Matemático - Funciones de varias variables

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Apunte de Funciones de varias variables: Funciones escalares. Funciones vectoriales.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

IDEA INTUITIVA: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que van de R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de Rⁿ y devuelven un valor de R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de Rⁿ y devuelven uno de R^m. La dificultad de estas funciones reside en que no tienen representación gráfica posible, a excepción de las funciones de R ² en R, que se pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican mucho llegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones, aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables.

CONCEPTOS BASICOS

DEFINICION: Sea f:Rⁿ ® R una aplicación que a cada x Î Rⁿ le asigna f(x) Î R. Entonces f:Rⁿ ® R es una función escalar de varias variables.

x = (x₁,...x_n) Î Rⁿ

f(x) = f(x₁,...x_n) = t Î R

NOTACION: En el caso de que n = 2, haremos:

x₁ = x, x₂ = y

Y en el caso de que n = 3

x₁ = x, x₂ = y, x₃ = z

DEFINICION: Sea f:Rⁿ ® R. Llamamos DOMINIO de la función al conjunto de puntos de Rⁿ en el que está definida f:Rⁿ ® R

Ejemplo:

f(x,y) = [ln (x ² + y ² - 25)]/(x + y ²)

dom(f) = {(x, y) Î Â ² / x ² + y ² > 25, x ≠ -y ²}

OBSERVACION: Sea f:R ² ® R. Llamamos GRAFICA de f al conjunto {(x, y, z) Î R³ / z = f(x, y) Ì R³}. A dicha gráfica la llamaremos superficie:

Ejemplo:

Llamamos CURVAS DE NIVEL a los puntos de la forma {(x, y) Î Â ² / f(x, y) = constante}. Son los puntos obtenidos al intersectar la superficie generada por f con un plano z = constante, y proyectarla en el plano.

OBSERVACION: Sea f:R³ ® R. Llamamos SUPERFICIES DE NIVEL de f a los conjuntos de la forma conjunto {(x, y, z) Π³ / f(x, y, z) = constante}.

DEFINICION: Sea f:Rⁿ ® R^m una aplicación que a cada x Î Rⁿ le asigna un vector f(x) = Y Î R^m. Entonces f:Rⁿ ® R^m es una función vectorial de varias variables.

x = (x₁,...x_n) Î Rⁿ

f(x) = [f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x)] Î R^m, f_i: Rⁿ ® R

Y a las f₁:Rⁿ ® R se las llama funciones coordenadas.

Ejemplo:

f(x, y) = [(x + y)/(x - y), sen (x + y), cos (x.y)] f: R ² ® R³

DEFINICION: Sea f:Rⁿ ® R^m. Llamamos DOMINIO de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de f.