Análisis Matemático - Funciones de varias variables

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Ejercicios de Funciones de varias variables: Recta Tangente y Plano Normal.

Recta Tangente y Plano Normal (tercera parte)

Fórmulas aplicables:

Plano: Z.X´(t) = X(t).X´(t)

Recta: Z = X(t) + μ .X´(t)

Problema n° 19) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = (t,t ²,1 + t)

en el punto de intersección de la curva con el plano x + y + z = 0.

Problema n° 20) Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1,t,t ²) en la intersección P de la curva con la esfera de R³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.

Ver solución del problema n° 20

Problema n° 21) Escribir las ecuaciones cartesianas de los planos normales a la curva (1,t,t ²) en las intersecciones de la curva con el cilindro x ² + y ² = 5.

Ver solución del problema n° 21

Problema n° 22) Mostrar que las rectas tangentes a la astroide (a.cos³ t, a.sen³ t), a > 0, cortan a los ejes coordenados en dos puntos cuya distancia es constante y vale a.

Problema n° 23) La derivada direccional de una cierta f(x,y) según la dirección del vector X´(t), tangente a la curva:

(e^{t - 1},1 - t + t ²)

en el punto P = (1,1), vale √2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π /2 el vector X´(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3.√2. Calcular las derivadas parciales de la f(x,y) en P.

Ver solución del problema n° 23

Problema n° 24) Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x,y) = y ² - x ² en el dominio:

4.x ² + 9.y ² ≤ 36

Problema n° 25) Sea X(t) una curva diferenciable en el intervalo I.

a) Mostrar que si X´(t) = 0, para todo t Î I, la curva se reduce a un punto.

b) Mostrar que si X´(t) ≠ 0 pero X" = 0, para todo t Î I, la curva es una recta o un segmento de recta.

Problema n° 26) Sean X(t) y Y(t) dos curvas diferenciables en el intervalo I. Poniendo f(t) = X(t).Y(t), demostrar que:

f(t) = X´(t).Y(t) + X(t).Y´(t)

Problema n° 27) Sean g(t) y X(t) respectivamente una función y una curva diferenciables en el intervalo I. Demostrar que:

(d/dt)g(t).X(t) = g´(t).X(t) + g(t).X´(t)

Problema n° 28) Sea A un vector fijo y sea g(t) una función derivable en un intervalo I. Demostrar que:

(d/dt)g(t).A = g´(t).A