Análisis Matemático - Integrales

Contenido

Apunte de Integrales: Integración por partes, integración del cociente de dos polinomios, integración por sustitución trigonométrica, integrales trigonométricas.

INTEGRACION POR SUSTITUCION

F(x) = ∫f(x).g(x).dx ÞF(x) = ∫u.du Û u = g(x) Û du = f(x).dx

INTEGRACION POR PARTES

La integral de un producto de un factor finito por un factor diferencial es igual al factor finito por una integral del factor diferencial, menos la integral de la integral hallada por la diferencial del factor finito.

F(x) = ∫u.dv Þ F(x) = u.v - ∫v.du

F(x) = ∫f(x).g⁵(x).dx Û F(x) = f(x).g(x) - ∫g(x).f´(x).dx

u = f(x) Û du = f´(x).dx

dv = g⁵(x).dx Û v = g(x)

Método abreviado

f(x) f¹(x) f ²(x) f³(x) f4(x) = 0

g5(x) g4(x) g³(x) g ²(x) g¹(x)

F(x) = f(x).g⁴(x) - f¹(x). g³(x) + f ²(x). g ²(x) - ³(x).g¹(x)

INTEGRACION DEL COCIENTE DE DOS POLINOMIOS

F(x) = ∫f(x)/g(x).dx

1) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es igual o mayor que el de g(x), se dividen:

f(x) = g(x).c(x) + R

F(x) = ∫c(x).dx + ∫ R/g(x).dx

2) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es menor que el de g(x), se factorean:

a)

f(x) = (x + a)

g(x) = (x + b).(x + c)

F(x) = ∫ (x + a) / (x + b).(x + c) dx ÞF(x) = [(a - b) /(c - b)].ln (x + b) + [(a - c) /(b - c)].ln (x + c)

b)

f(x) = (x + a)

g(x) = (x + b) ²

F(x) = ∫ (x + a) / (x + b) ² dx

u = x + b Þx = u - b

du = dx

x + a = u - b + a

F(x) = ∫ du/u + (a - b).∫ du/u ² = ln u - (a - b)/u

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

a)

x = b.sen t Þt = arcsen (x/b)

dx = b.cos t .dt

F(x) =∫	a.dx	= a. ∫	b.cos t .dt	= a.b.∫	cos t .dt	=	a.b	∫	cos t .dt	= a. ∫	cos t .dt
	√ b ² - x ²		√ b ² - (b.sen t) ²		√b ² - b ².sen t ²		b		√ 1 - sen t ²		√ cos t ²

= a. ∫	cos t .dt	= a. ∫ dt = a.t = a.arcsen (x/b)
	cos t

b)

x = √b. t Þt = x/√b

dx = √b.dt

F(x) = ∫

a.dx

= a. ∫

√b.dt

= a.√b.∫

dt

=

a.√b

∫

dt

=

a.√b.arctg t

=

a.√b.arctg (x/√b)

b + x ²

b + (√b.t) ²

b + b.t ²

b

1 + t ²

b

b

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

F(x) = ∫sen ⁿ x.cos ^m x.dx

siendo m ó n impar, por ej.:

F(x) = ∫sen ² x .cos³ x .dx ÞF(x) = ∫sen ² x .cos ² x .cos x .dx ÞF(x) = ∫(1 - sen ² x) .sen ² x .cos x .dx Þ

F(x) = ∫(sen ² x - sen⁴ x).cos x .dx F(x) = ∫sen ² x .cos x .dx - ∫sen⁴ x.cos x .dx

u = sen x

du = cos x .dx

F(x) = ∫u ².du - ∫u⁴.du ÞF(x) = u³/3 - u⁵/5 ÞF(x) = (sen³ x)/3 - (sen⁵ x)/5