En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales se obtenían las integrales inmediatas, bien de forma directa, bien por cambio de variable.

Se estudiarán las técnicas más elementales para reducir a inmediatas aquellas integrales que no lo sean: integración por partes, integrales de cocientes de polinomios por descomposición en fracciones simples y fórmulas de reducción.

Todos los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo.

La integración por partes consiste en descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una integral que, pretendidamente, es más sencilla que la de partida.

La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios transforma éste en una suma de fracciones cuyas integrales pueden solucionarse con facilidad.

Por último, las fórmulas de reducción permiten, en algunos casos, resolver integrales que dependen de un número natural n si se conoce el valor de la integral que depende del número anterior o ante-anterior. Así, por ejemplo,a partir de ∫ sen° x dx = ∫ 1 dx = x y ∫ sen x dx = - cos x, va a ser posible calcular las integrales de sen ² x, sen³ x, sen⁴ x,etc.

Integración por partes

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x).g(x), permite escribir,

d(f(x).g(x)) = g(x).f´(x)dx + f(x).g´(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

∫ d[f(x).g(x)] =∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx

De la misma manera que ∫ dx = x, también ∫ d[f(x).g(x)] = f(x).g(x)
Por tanto, f(x).g(x) = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx. De aquí se obtiene que:

∫ f(x).g´(x).dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f´(x).dx
Esta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u =f(x), du = f´(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g´(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

Cómo se resuelve una integral por partes

Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma x^m si m es positivo; si m es negativo,es preferible identificar con dv a x^m .dx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc sen x, arc tg x y con dv, e^x .dx, sen x dx, cos x dx, etc.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv,ésta debe contener siempre a dx.

Ejercicio: integración por partes

1) Calcular ∫ ln x dx

Resolución:

Este es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función, ln x.

Haciendo u = ln x, y diferenciando, du = dx/x

Necesariamente, dv = dx. Integrando ambos miembros, ∫ dv =∫ dx. Es decir, v = x.

Aplicando la fórmula, ∫ ln x dx = x.ln x - ∫ x.(1/x).dx = x.ln x - x + C
2) Calcular ∫ sen ² x dx

Resolución:

Se puede resolver efectuando cambios distintos:

a) La identificación, en este caso, puede ser u = sen x y dv = sen x dx

De u = sen x se deduce, diferenciando, que du = cos x dx.

De dv = sen x dx, integrando, ∫ dv = ∫ sen x dx, es decir, v = - cos x

Aplicando la fórmula, ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du,

∫ sen ² x dx = sen x . (- cos x) - ∫ (- cos x).cos x dx = - sen x . cos x + ∫ cos ² x dx
Puesto que cos ² x =1 - sen ² x,

∫ sen ² x dx = - sen x .cos x + ∫ (1 - sen ² x).dx = - sen x .cos x + ∫ dx - ∫ sen ² x dx

∫ sen ² x dx = - sen x .cos x + x - ∫ sen ² x dx
Al volver a obtener en el segundo miembro la integral de partida puede llegarse a la conclusión de no haber avanzado en el propósito de calcular la integral. No es así en este caso, pasando al primer miembro

- ∫ sen ² x dx, se obtiene

2.∫ sen ² x dx = x - sen x .cos x. Y pasando al segundo miembro,
∫ sen ² x.dx = (x - sen x.cos x)/2 + C

b) Esta integral admite también la identificación u = sen ² x, dv = dx

Diferenciando u, du = 2 sen x cos x dx = sen 2 x.dx

Integrando dv, ∫ dv = ∫ dx ⇒ v = x.

Aplicando la fórmula de integración por partes, ∫ sen ² x dx = sen ² x .x - ∫ x.sen 2.x dx (1)

Y aquí es necesario volver a integrar por partes ∫ x.sen 2.x dx
Si u = x, du = dx.

Si dv = sen 2.x dx, v = ∫ sen 2.x dx = ½ .∫ 2.sen 2.x dx = - ½.cos 2.x

∫ x.sen 2.x dx = - ½.cos 2.x -∫ - ½.cos 2.x dx = - ½.x.cos 2.x + ½.∫ cos 2.x dx =
= - ½.x.cos 2.x + ½.½.∫ 2.cos 2.x dx = - ½.x.cos 2.x + ¼.sen 2.x
Volviendo a la igualdad (1)

∫ sen ² x.dx = x.sen ² x + (x.cos 2.x)/2 - (sen 2.x)/4 + C

No hay que dejarse engañar por la apariencia de que los resultados que se han obtenido son distintos; en realidad son iguales. Si en la segunda expresión se sustituye cos 2 x por su valor, cos ² x - sen ² x, y sen 2 x por el suyo, 2 sen x.cos x, se obtiene:

x.sen ² x + (x/2).(cos ² x - sen ² x) - (1/4).2.sen x.cos x =

= x.sen ² x + (x/2).cos ² x - (x/2).sen ² x - (1/2).sen x.cos x =

= (x/2).cos ² x + (x/2).sen ² x - (1/2).sen x.cos x =

= (x/2).(sen ² x + cos ² x) - (1/2).sen x.cos x =

= (x/2).1 - (1/2).sen x.cos x =

= (x - sen x.cos x)/2

3) Resolver ∫ arc sen x.dx

Resolución:

La identificación obligada es u = arc sen x; así du = dx