Análisis Matemático - Integrales

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Apunte de Integrales.

INTEGRACION DE UNA FUNCION ESCALAR

Definición: Dada C Ì Rⁿ una curva lisa de ecuación vectorial x = G (t9, t Î [a, b] (g inyectiva) y dada F: A Ì Rⁿ ® R, continua, C Ì A, se define la integral de F sobre C como :

∫ _C F dl = F(g (t)) | g´ (t)dt|

Segundo Parcial:

Longitud de una curva: L = | G´ (t)| dt

Si C = C1ÈC2, donde C1∩C2 tiene a lo sumo un punto: ∫ c dl =∫ c1 dl + ∫ c2 dl

Ejemplo: y = x ² G (t) = (t, t ²),t Î [0, 1] G´ (t) = (1, 2t) |G´ (t)| = √ (1 + 4t)

L = = |G´ (t)|dt = √ (1 + 4t)dt = = √ (1 + (2t) ²)dt =v = 2t Þ dv = 2dt Þ √(1 + v ²) dv

L = 1/4 [sh (2 argsh (2)) /2 + argsh (2) ] = 1,42

Integral de F sobre C: ∫ c F dl = F (G (t)).|G´ (t)| dt

Trabajo o circulación de F a lo largo de C : ∫ c F dl = F (G (t)). G´ (t) dt

Ejemplo: Calcular el trabajo de F entre (0, 0) y (1, 1) a lo largo de la curva y = x ² F (x, y) = (x + y, y)

Parametrización de la curva: G (t) = (t, t ²), t Î [0, 1]

T = F (G (t)).G´ (t) dt = (t + t ², t ²) (1, 2t) dt = (t + t ² + 2t³) dt = t ²/2 + t ²/3 + t⁴/2|₀¹ = 4/3