Análisis Matemático - Integrales

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Apunte de Integrales: Fórmulas de reducción.

INTEGRALES DE COCIENTES

Ejercicio: cálculo de integrales

1) Calcular ∫(3.x - 1)/(x ² + 2 x + 5).dx

Resolución:

Al resolver la ecuación de segundo grado x ² + 2 x + 5 = 0, se obtienen las raíces

- 1 + 2 I y - 1 - 2 I, por lo que

x ² + 2 x + 5 = (x + 1 - 2 I) (x + 1 + 2 I) = (x + 1) ² + 4 1.

Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.

A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

a)

Se resuelven por separado las dos integrales.

b)

Por tanto,

Llamando u = (x + 1)/2, u´ = 1/2. Multiplicando y dividiendo por 1/2:

d) Sumando los resultados de b) y C). (C₁ + C₂ = C),

∫(3.x - 1)/(x ² + 2 x + 5).dx = (3/2).ln [(x + 1) ² + 4] - 2.arctg (x + 1)/2 + C,

resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

2) Calcular ∫(2.x + 5)/(x³ + 6.x ² + 9.x).dx

Resolución:

Se calculan las raíces del denominador.

x³ + 6.x ² + 9.x = x.(x ² + 6.x + 9) = 0 Þ

x = 0 ó x ² + 6.x + 9 = 0

x ² + 6.x + 9 = 0 Þ x = (-6 ± √36 - 36)/2 Þ x = (-6 ± 0)/2 Þ x = -3

Tiene las raíces x = 0, simple, y x = - 3, doble. Así,

x(x ² + 6 x + 9) = x(x + 3) ²

Se descompone (2.x + 5)/(x³ + 6.x ² + 9.x) en fracciones simples:

Igualando los numeradores,

2 x + 5 = A(x + 3) ² + Bx(x + 3) + Cx

Se dan valores a x:

Si x = 0, 5 = A.(0 + 3)2 = 9.A ÞA = 5/9
Si x = -3, 2.(-3) + 5 = -3.C Þ -1 = -3.C ÞC = 1/3
Si x = t, 7 = 16.A + 4.B + C Þ 7 = 16.5/9 + 4. B + 1/3 Þ63 = 80 + 36.B + 3 Þ -20 = 36.B ÞB = -5/9
Así,

3) Calcular ∫(3.x ² + 5)/[(x - 2) (x ² + 2 x + 4)].dx

Resolución:

Raíces de (x - 2) (x ² + 2 x + 4):

x - 2 = 0 Þ x = 2

x ² + 2.x + 4 = 0 Þ

x1 = -1 + i.√3 x2 = - 1 - i.√3

x ² + 2.x + 4 = (x + 1 + i.√3).(x + 1 - i.√3) = (x + 1) ² + 3

Descomposición en fracciones simples:

Se identifican los numeradores y se dan valores a x:

3 x ² + 5 = A(x ² + 2 x + 4) + (Mx + n) (x - 2)

Si x = 2, 17 = A.12 Þ A = 17/12

Luego:

FORMULAS DE REDUCCION

Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n,siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.

Cálculo de I_n = ∫ sen ⁿ x dx

Como se ve, el subíndice n de I_n coincide con el exponente de sen ⁿ x.

Desde luego, I₀ = ∫ sen ⁰ x dx = ∫ 1.dx = x e I₁ = ∫ sen ¹ x dx = ∫ sen x.dx = -cos x

Para encontrar la fórmula de reducción de I_n se integrará por partes:

u = sen ^{(n - 1)} x; du = (n - 1).sen^{(n - 2)} x.cos x.dx
dv = sen x dx; v = ∫ sen x.dx = -cos x

Por tanto, I_n = -cos x.sen ^{n - 1}x - (n - 1)∫ -sen ^{n - 2} x.cos ² x dx
I_n = -cos x .sen ^{n - 1}x + (n - 1)∫ sen ^{n - 2} x.(1 - sen ² x).dx
I_n = -cos x .sen ^{n - 1}x + (n - 1)∫ sen ^{n - 2} x.dx - (n - 1)∫ sen ⁿ x.dx
I_n = -cos x.sen^{(n - 1)} x + (n - 1).In - 2 - (n - 1).In

Pasando - (n - 1) I_n al primer miembro y despejando I_n,

I_n (1 + n - 1) = - cos x · sen ^{(n - 1)} x + (n - 1) · I_{n - 2}

n· I_n = - cos x · sen^{(n - 1)} x + (n - 1) · I_{n - 2}

De donde I_n = (-cos x.sen ^n-1 x)/n + [(n - 1)/n].I_{n - 2}

Así: I₀ = x I₁ = - cos x

Cálculo de I_n = ∫cos ⁿ x dx

Para calcular J_n = ∫ cos ⁿ x dx, basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),

por lo que J_n = ∫ [sen (90° - x)]ⁿ.dx y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = - dy.

Así:

Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:

cos y = cos (90° - x) = sen x;

sen^{(n - 1)} y = sen ^{(n - 1)}(90° - x) = cos ^{(n - 1)} x

y - [(n - 1)/n].∫ sen ^{(n - 2)} (90° - x).(-dx) =

Concluyendo que:

J_n = (sen x.cos ^{n - 1} x)/n + [(n - 1)/n].J_{n - 2}

Cálculo de la integral I_n = dx/(1 + x ²)ⁿ

Sumando y restando x ² al numerador,

La segunda integral se resuelve por partes:

u =x, du = dx

De donde,

Volviendo a la expresión (1), se obtiene:

Operando,

Así, se obtendría, por ejemplo:

Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.