Análisis Matemático - Integrales

Contenido

Apunte de Integrales: Resumen y fórmulas: Condiciones para que una integral se anule. Cambio de coordenadas a esféricas y a curvilíneas. Baricentro de un sólido.

INTEGRALES TRIPLES

Condiciones para que una integral se anule:

Con respecto al plano y = 0 (xz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano y = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x,y,z) la condición de simetría es:

f(x,y,z) = f(-x,y,z)

Para la integranda g(x,y,z) la condición de antisimetría es:

g(x,y,z) ≠ g(-x,y,z)

Con respecto al plano x = 0 (yz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano x = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x,y,z) la condición de simetría es:

f(x,y,z) = f(x,-y,z)

Para la integranda g(x,y,z) la condición de antisimetría es:

g(x,y,z) ≠ g(x,-y,z)

Primera Fórmula:

Para un volumen:

∫∫∫_D dx.dy.dz = ∫∫_Dxy [ β (x,y) - α (x,y).dx.dy]

Segunda Fórmula:

Para un volumen:

CAMBIO DE COORDENADAS

A coordenadas esféricas:

Conviene cuando el dominio es esférico, cono con tapa esférica, para lograr límites de integración constantes.

x = r.cos θ.sen φ

y = r.sen θ.sen φ

z = r.cos φ

dx.dy.dz = |J|.d θ.dr.d φ

∫∫∫_D f(x,y,z)dx.dy.dz = ∫∫∫_D´ f(r.cos θ.sen φ,r.sen θ.sen φ,r.cos φ)r ².d θ.dr.d φ

A coordenadas curvilíneas:

x = x(u,v,w)

y = y(u,v,w)

z = z(u,v,w)

dx.dy.dz = |J|.(u,v,w)du.dv.dw

∫∫∫_D f(x,y,z)dx.dy.dz = ∫∫∫_D´ f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|.(u,v,w)du.dv.dw

BARICENTRO DE UN SOLIDO

xG =	∫∫∫Dx.dx.dy.dz
	∫∫∫ Ddx.dy.dz
yG =	∫∫∫Dy.dx.dy.dz
	∫∫∫ Ddx.dy.dz
zG =	∫∫∫Dz.dx.dy.dz
	∫∫∫ Ddx.dy.dz

Baricentro: G(x_G, y_G, z_G)

Relaciones Utiles:

cos ² x + sen ² x = 1

2sen x.cos x = sen 2x

cos ² x - sen ² x = cos 2x

cosh ² x - senh ² x = 1

cosh α = (e^x + e^-x)/2

senh α = (e^x - e^-x)/2

∫ sen ² α .d α = ½.(1 - sen α .cos α)

∫ cos ² α .d α = ½.(1 + sen α .cos α)