Análisis Matemático

Integrales: Divergencia, rotor y Stokes. Divergencia del gradiente. Ecuación de Laplace. Formulas de Green en R3. Teorema de la divergencia. Circulación del campo

DIVERGENCIA - ROTOR - STOKES

Teniendo en cuenta el siguiente operador:

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

DIVERGENCIA

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(X) = (f1,f2,f3)

Resulta:

div F =∇F

esto es una función

ROTOR

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(X) = (f1,f2,f3)

Resulta:

rot F =∇xF

esto es un campo vectorial

DIVERGENCIA DEL GRADIENTE

Se aplica a funciones.

Sea φ (x,y,z)

Resulta:

div grad φ = ∇² φ

siendo

∇² = (∂²/∂x², ∂²/∂y², ∂²/∂z²)

ECUACION DE LAPLACE

Si∇² φ = 0

La función es armónica.

FORMULAS DE GREEN EN ℜ³

Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:

∫∫∂T f(x,y,z).E1.dS = ∫∫∫T fx(x,y,z).dx.dy.dz

∫∫∂T f(x,y,z).E2.dS = ∫∫∫T fy(x,y,z).dx.dy.dz

∫∫∂T f(x,y,z).E3.dS = ∫∫∫T fz(x,y,z).dx.dy.dz

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS EN ℜ³

Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:

∫∫∂T F.dS = ∫∫∫T div F.dt

Aplicaciones:

TEOREMA DE STOKES

Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:

∂S F.dC = ∫∫S rot F.dS

Circulación del campo

Circulación del campo

La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.

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Editor: Fisicanet ®

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