Análisis Matemático - Integrales

Contenido

Apunte de Integrales: Resumen y fórmulas: Divergencia, rotor y Stokes. Divergencia del gradiente. Ecuación de Laplace. Formulas de Green en R3. Teorema de la divergencia. Circulación del campo.

DIVERGENCIA - ROTOR - STOKES

Teniendo en cuenta el siguiente operador:

Ñ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

DIVERGENCIA

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(X) = (f₁,f₂,f₃)

Resulta:

div F =ÑF

esto es una función

ROTOR

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(X) = (f₁,f₂,f₃)

Resulta:

rot F =ÑxF

esto es un campo vectorial

DIVERGENCIA DEL GRADIENTE

Se aplica a funciones.

Sea φ (x,y,z)

Resulta:

div grad φ =Ñ ² φ

siendo

Ñ ² = (∂ ²/∂x ², ∂ ²/∂y ², ∂ ²/∂z ²)

ECUACION DE LAPLACE

SiÑ ² φ = 0

La función es armónica.

FORMULAS DE GREEN EN R³

Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:

∫∫_∂T f(x,y,z).E₁.dS = ∫∫∫_T f_x(x,y,z).dx.dy.dz

∫∫_∂T f(x,y,z).E₂.dS = ∫∫∫_T f_y(x,y,z).dx.dy.dz

∫∫_∂T f(x,y,z).E₃.dS = ∫∫∫_T f_z(x,y,z).dx.dy.dz

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS EN R³

Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:

∫∫_∂T F.dS = ∫∫∫_T div F.dt

Aplicaciones:

TEOREMA DE STOKES

Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:

∫_∂S F.dC = ∫∫_S rot F.dS

Circulación del campo

La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.