Análisis Matemático - Integrales

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Ejercicio resuelto de Integrales: Integrales superficiales de funciones.

Ejercicios extraídos del libro "LECCIONES DE ANALISIS II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Integrales superficiales de funciones

Fórmulas aplicables:

∫∫ _S f(X).dσ = ∫∫ _D f(X(u, v)).||X_u Ù X_v||.du.dv

Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:

z = x ² + y ²

Para:

z ≤ 1

Resolución:

Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:

X_G = Y_G = 0

Luego:

Primero parametrizamos la superficie:

x = u

y = v

z = u ² + v ²

X(u, v) = (u, v, u ² + v ²)

Luego hallamos el vector normal a la superficie:

X_u = (1, 0, 2.u)

X_v = (0, 1, 2.v)

Xu Ù Xv = (1, 0, 2.u)Ù (0, 1, 2.v) =	E1	E2	E3	= (-2.u, -2.v, 1)
	1	0	2.u
	0	1	2.v

X_u Ù X_v = (-2.u, -2.v, 1)

Preparamos las partes para armar la integral:

f(X(u,v)) = u² + v²

Armamos la integral:

I = ∫∫ _S z.dσ = ∫∫ _D f(X(u, v)).||X_u Ù X_v||.du.dv

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ v = r.sen θ

® |J| = r ®

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2.π

Resolvemos:

Aplicando un cambio de variable:

Para el denominador:

A_D = ∫∫ _Sdσ = ∫∫ _D ||X_u Ù X_v||.du.dv

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r.cos θ v = r.sen θ

® |J| = r ®

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2.π

Resolvemos:

Mediante un cambio de variable:

w = 4.r² + 1

dw = 8.r.dr

(1/8).dw = r.dr

La coordenada es:

El baricentro es: