Análisis Matemático - Integrales

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Ejercicios de Integrales: Aplicaciones del teorema de la divergencia al cálculo de una integral triple o de un volumen.

Ejercicios extraídos del libro "LECCIONES DE ANALISIS II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Aplicaciones del teorema de la divergencia al cálculo de una integral triple o de un volumen

Fórmulas aplicables:

∫∫ _∂T F.dS = ∫∫∫ _T div F.dT

Vol T = ∫∫ _∂T x.E₁.dS

Vol T = ∫∫ _∂T y.E₁.dS

Vol T = ∫∫ _∂T z.E₁.dS

Problema n° 1) Calcular:

a) Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x ² + y ² + z ² = 1.

Ver solución del problema n° 1-a

b) Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z ²) a través de la hemisferio x ² + y ² + z ² = 1, z ≥ 0.

Ver solución del problema n° 1-b

c) Calcular el flujo saliente del campo (y, z.x, 1) a través de la esfera (x - a) ² + (y - b) ² + (z - c) ² = R ².

Ver solución del problema n° 1-c

d) Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z ² = x ² + y ², 0 ≤ z ≤ h.

Ver solución del problema n° 1-d

e) Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Ver solución del problema n° 1-e

f) Calcular el flujo saliente del campo (x, y, 2.z - x - y) a través del vaso cilíndrico determinado por las superficies:

S₁: x ² + y ² = 1, 0 ≤ z ≤ 1

S₂: z = 0, x ² + y ² = 1

Problema n° 2) Calcular:

∫∫ _∂T F.dS

donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.

Ver solución del problema n° 2

Problema n° 3) Calcular el momento de inercia, respecto a su eje de simetría, del siguiente sólido homogéneo T generado por la rotación, alrededor del eje z, del dominio plano yz limitado por los ejes coordenados y por el arco de astroide:

(y, z) = (a.cos³ t, a.sin³ t) ; 0 ≤ t ≤ π/2, a > 0

El momento de inercia es:

I_z = M/V.∫∫∫ _D (x ² + y ²).dx.dy.dz