Análisis Matemático

Límites: Función continua. Operaciones con funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas.

CONTINUIDAD

Función continua

Una función f es continua en un punto x0 cuando existe el límite de la función en x0 y coincide con el valor que toma la función en x0.

f es continua en x0x tiende a x subcero f(x) = f(x0)
Para que una función sea continua en x0, se tienen que cumplir tres condiciones:

1- Existir el límite de la función cuando x → x0.

2- Estar definida la función en x0, es decir, existir f(x0).

3- Los dos valores anteriores han de coincidir: x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejercicio: estudio de la discontinuidad de una función

1) Probar que la función definida por f(x) =

2, si x ≤ 3
-1, si x > 3

es discontinua en el punto x0 = 3.

Resolución:

Para probar la discontinuidad de la función en x0 = 3 hay que ver cuál de la tres condiciones de continuidad no se cumple.

En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden:

Límite tendiendo a mas 3 f(x) = -1

Límite tendiendo a menos 3 f(x) = 2

Por lo tanto, la función es discontinua en x0 = 3.

2) Probar que la función definida por f(x) =

1, si x < 3
x - 2, si x > 3

es discontinua en el punto x0 = 3.

Resolución:

- En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los dos límites laterales coinciden:

Límite tendiendo a menos 3 f(x) = Límite tendiendo a menos 3 1 = 1

Límite tendiendo a mas 3 f(x) = Límite tendiendo a mas 3 (x - 2) = 3 - 2 = 1

- Sin embargo, la función no está definida en x0 = 3; no existe f (3).

Por tanto, la función es discontinua en x0 = 3.

3) ¿ES la función definida por f(x) =

x² - 1 , si x ≠ 2
5, si x = 2

discontinua en el punto x0 = 2?

Resolución:

- Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales coinciden:

Límite tendiendo a mas 2 f(x) = 2² - 1 = 3

Límite tendiendo a menos 2 f(x) = 2² - 1 = 3

- la función está definida para x = 2 y vale 5: f(2) =5.

- Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x → 2 no coincide con f (2):

Límite tendiendo a 2 f(x) = 3 ≠ f(2) = 5
Por tanto, la función es discontinua en x0 = 2.

OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS

Suma

La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

Demostración:

Sean f y g dos funciones continuas en un punto x0. Esto significa que:

x tiende a x subcero f(x) = f(x0) y x tiende a x subcero g(x) = g(x0)
Para probar que la función suma f + g es una función continua en x0, es necesario demostrar que x tiende a x subcero (f + g)(x) = (f + g)(x0)

Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones,

x tiende a x subcero (f + g)(x) = x tiende a x subcero f(x) + x tiende a x subcero g(x) = f(x0) + g(x0) = (f + g)(x0)
La demostración es válida para una suma de n funciones continuas en x0.

Resta

La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

Esta demostración, como las que siguen, se hacen de forma similar a la anterior, basándose en las propiedades de los límites de funciones.

Producto

El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.

Producto de una función por un número

El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función continua en ese punto.

Cociente

El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).

Composición de funciones

Si f es una función continua en x0 y g es otra función continua en f(x0), la función compuesta gof es continua en el punto x0.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Si una función es continua en un punto x0, entonces es convergente en x0, es decir, existe el límite de la función cuando x tiende a x0.

Si f(x) es continua en x0x tiende a x subcero f(x) = f(x0)

Editor: Fisicanet ®

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