Propiedades de los números reales - segunda parte

Propiedades de la multiplicación de números reales

Asociativa:

[(x_n)]·{[(y_n)]·[(z_n)]} = [(x_n)]·[(y_n·z_n)] = [(x_n·y_n·z_n)] = [(x_n·y_n)]·[(z_n)] = {[(x_n)]·[(y_n)]}·[(z_n)]

Conmutativa:

[(x_n)]·[(y_n)] = [(x_n·y_n)] = [(y_n·x_n)] = [(y_n)]·[(x_n)]

Elemento unidad:

[(x_n)]·[(1)] = (x_n·1) = (x_n)

Además la multiplicación es distributiva respecto de la adición, es decir

[(x_n)]·{[(y_n)] + [(z_n)]} = [(x_n)]·[(y_n)] + [(x_n)]·[(z_n)]

No es fácil ver que todo número real no nulo tiene inverso, para eso vamos a utilizar un lema (resultado auxiliar) que también será útil para definir la relación "ser menor que" en ℜ.

Lema:

Si (x_n) es una sucesión de Cauchy de números racionales que no converge a cero, entonces existe M > 0, υ ∈ N tales que:

ó bien n > υ ⇒ x_n > M

ó bien n > υ ⇒ x_n < -M

• Demostración:

Que x_n no converge a 0, significa que:

|-x_n > ε

∃ ε > 0 / ∀ υ ∈ N, ∃ n > 0 / |x_n| ≥ ε - |- x_n < - ε

Esto es la negación de:

|- x_n < ε

∃ ε > 0, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ |x_n| < ε - |-x_n > - ε

Por otra parte con x_n es de Cauchy:

∃ υ₀ ∈ N / p, q > υ ˆ0ˆ ⇒ |x_p - x_q| < ε/2

Luego todos los x_n salvo finitos están o bien a la derecha de ε/2 o bien a la izquierda de - ε/2, es decir, M = ε/2

En efecto: dado n₀ ∈ N tal que n₀ > υ₀ tal que |x_n0| > ε luego tenemos que o bien x_n0 ≥ ε o bien x_n0 ≤ - ε

Supongamos x_n0 ≥ ε tenemos entonces que:

n > υ₀ ⇒ ε - x_n ≤ x_n0 - x_n < ε/2 ⇒ x_n = ε/2

Corolario:

Si (x_n) es de Cauchy, no convergente a 0, entonces la sucesión (1/x_n) está bien definida para casi todo n (es decir, x_n ≠ 0 ∀ n ∈ N salvo finitos) y además es de Cauchy.

• Demostración:

Que x_n ≠ 0 está comprobado con el lema anterior.

Veamos que (1/x_n) es de Cauchy. La clave de la demostración está en la igualdad:

|(1/x_p) - (1/x_q)| = |x_p - x_q|/|x_p|·|x_q|

En efecto, por ser (x_n) de Cauchy no convergente a 0

∃ M > 0, ∃ υ₁ ∈ N / |x_n| > M_υ (n > υ₁)

Además:

∀ ε > 0, ∃ υ₂ ∈ N / p, q > υ₂ ⇒ |x_p - x_q| < ε m²

Por tanto si p, q > máx. (υ₁, υ₂) ⇒ |(1/x_p) - (1/x_q)| < ε m²/m² = ε

Como consecuencia de todo lo anterior tenemos:

• Proposición:

Todo número real distinto de 0 tiene inverso multiplicativo.

• Demostración:

Sea [(x_n)] un número real distinto de 0. Eso significa que (x_n) es de Cauchy, no convergente a 0. Por tanto:

∑ υ ∃ N / x_n ≠ 0, (n > υ), y la sucesión (1, 1, ……, 1, 1/x_{υ +1},1/x_{z + 2}, 1/x_{υ +3}, ……) es de Cauchy. Obviamente [(x₁, x₂, ……, x_υ, x_{υ +1}, x_{υ +2}, ………)]

·[(1, 1, ……, 1, 1/x_{υ + 1},1/x_{υ + 2}, ……)] = [(x₁, x₂, ………, x_υ, 1, 1, 1, ……)]

Así que (ℜ, +, ·) es un cuerpo

• Definición de la relación "ser menor que" en ℜ:

Supongamos que [(x_n)] es un número real distinto de 0, diremos que [(x_n)] es positivo (mayor que cero) cuando se de la primera de las dos posibilidades del lema. Es decir, cuando:

∃ M > 0, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ x_n > M

Cuando se da la segunda (x_n < -M) diremos que el número es negativo (menor que cero)

Por definición [(x_n)] < [(y_n)] cuando [(y_n - x_n)] sea positivo.

Ejemplos de las propiedades de los números reales

Ejemplo n° 1

Probar que aquella definición de número real positivo (negativo) no depende de los representantes de número real elegidos para darlo, es decir, si (x_n) verifica la primera (segunda) de las propiedades del lema y si (x_n) ˜(y_n) entonces (y_n) también las verifica, (en general con otras M, υ).

Si [(x_n)] es positivo por definición:

∃ M > 0, υ₀ ∈ N /n > υ ⇒ x_n > M

Es decir, [(x_n)] es mayor que M.

Y si (x_n) ˜(y_n) por definición (x_n - y_n) ⟶ 0

Por último si (x_n) ⟶ [(x_n)], (y_n) tiene que converger forzosamente a [(x_n)] = [(y_n)], por lo cual (y_n) tiene cumple la propiedad que cumplía (x_n), es decir:

∃ M > 0, ∃ υ₀ ∈ N /n > υ₀ ⇒ y_n > M

De forma análoga se probaría el caso de (x_n) negativo.

Ejemplo n° 2

Probar también que la relación "ser menor que" en ℜ es transitiva, antisimétrica y total.

Transitiva.

[(x_n)] < [(y_n)], [(y_n)] < [(z_n)] ⇔[(y_n - x_n)] > 0, [(z_n - y_n)] > 0 ⇒ [(z_n - x_n)] > 0 ⇒ [(x_n)] < [(z_n)]

Antisimétrica.

[(x_n)] < [(y_n)], [(y_n)] < [(x_n)] ⇒ [(y_n - x_n)] > 0, [(x_n - y_n)] > 0 ⇒ [(x_n)] = [(y_n)]

Total

∀ [(x_n)],[(y_n)], [(x_n)] ≠ [(y_n)] ⇒ ó [(y_n - x_n)] > 0 ó [(x_n - y_n)] > 0 ⇒ ó [(x_n)] < [(y_n)] ó [(y_n)] < [(x_n)]

Ver que el orden es compatible con la adición y multiplicación.

[(x_n)] < [(y_n)] ⇒ [(y_n - x_n)] > 0

[(x_n)] + [(z_n)] < [(y_n)] + [(z_n)] ⇒ [(y_n + z_n - x_n - z_n)] = [(y_n - x_n)] > 0

[(x_n)]·[(z_n)] < [(y_n)]·[(z_n)] ⇒ [(y_n·z_n - x_n·z_n)] > 0·([(z_n)] > 0)

Ver también, que se verifica la propiedad arquimediana, es decir, que:

∀ [(x_n)], ∀ [(y_n)], ∃ k ∈ N / [(y_n)] < k [(x_n)]

A partir de (Q, +, ·, <) hemos construido (ℜ, +, ·, <). Esta última estructura ℜ tiene las mismas propiedades que la de partida: La adición es asociativa, conmutativa, elemento neutro y opuesto, la multiplicación es asociativa, conmutativa, elemento unidad e inverso, el orden es transitivo, antisimétrico y total, la adición es distributiva respecto de la multiplicación, hay compatibilidad entre el orden y la adición, y compatibilidad entre el orden y la multiplicación.

La ganancia que hemos obtenido con los ℜ se puede expresar de bastantes formas, pero nos fijaremos en una, que es el teorema fundamental del orden (TFO).

Teorema fundamental del orden

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente (inferiormente) de números reales tiene supremo (ínfimo).

Definición:

Sea A ⊂ ℜ, se dice que A está acotado superiormente (inferiormente) cuando existe M ∈ ℜ tal que ∀ x ∈ A, x ≤ M (respectivamente M ≤ x). De M se dice que es cota superior (inferior) de A.

Definición:

Sea A un conjunto acotado superiormente de números reales. Se dice que α ∈ ℜ es supremo de A cuando:

• α es cota superior de A
• Si β es otra cota superior de A ⇒ α < β

Es decir, cuando es la menor de todas las cotas superiores de A. (α = sup. A)

Se dice que α es ínfimo, cuando α es la mayor de las cotas inferiores α = inf. A.

El conjunto Ø está acotado superiormente, puesto que todo número real es una cota superior, ya que cualquier número es mayor que la "nada". Pero no tiene supremo, puesto que dado un número real siempre se hay otro menor que él.

• Proposición:

El TFO no es cierto en Q. Para verlo basta poner un ejemplo.

El conjunto A = {x ∈ Q / x² < 2} es acotado superiormente (ej: 2 es una cota superior) y no vacío (1 ∈ A), pero no tiene supremo en Q.

Supongamos que lo tuviera, que sup. A = α ∈ Q

Sabemos que α² ≠ 2

Con Q es totalmente ordenado, ó α² < 2 ó α² > 2.

Veamos que no puede darse ninguna de estas propiedades, y que por lo tanto no existe, en Q, supremo de A.

Supongamos que α² < 2. Encontraremos un elemento de A más grande que α, con lo que α no puede ser supremo de A (no es cota superior).

α es mayor o igual que 1

α² < (α + 1/n)² = α² + 2 α/n + 1/n² = α² + (1/n)·(2·α + 1/n) < α² + (1/n)·(2·α + 1)

α² < α(α + 1/n)

0 < 1/n ⇒ α < α + 1/n ⇒ α·(α + 1/n) < (α + 1/n)² ⇒ (transitiva) α² < (α + 1/n)²

Ahora bien, como 2 - α² > 0, por la propiedad arquimediana, existe n ∈ N tal que 2·α + 1 < n·(2 - α²), luego ese n, α² + (1/n)·(2·α + 1) < 2.

Es decir, α + 1/n ∈ A ⇒ α no es cota superior.

Ejemplos de las propiedades de los números reales

Ejemplo n° 1

Ver lo anterior para el caso de α² > 2

Como se sumerge la estructura (Q, +, ·, <) en la (ℜ, +, ·, <). Dicha inmersión la establece la aplicación inyectiva:

f:x ∈ Q ⟶ [(x)] ∈ ℜ

[(x)] clase formada por las sucesiones {(x, x, x, ……)}, {(x + 1, x + ½, ……)} que convergen a x.

Ejemplo n° 2

Ver que eso es una aplicación inyectiva, es decir, cada elemento de Q tiene una y sólo una imagen en ℜ (ser aplicación de Q en ℜ).

• x ≠ y ⇒ [(x)] ≠ [(y)] (puntos distintos tienen imágenes distintas)
• x ∈ Q y ∈ Q
• f(x) = [(x)] f(y) = [(y)]
• x = y ⇒ [(x)] = [(y)] ⇒ f(x) = f(y)

Además, no es sobreyectiva (hay elementos de ℜ que no son imagen de ningún Q). Ejemplo: {(1, 1'4, 1'41, 1'414, ……)}que resulta de la aplicación a 2 del algoritmo de la raíz cuadrada, (la demostración está relacionada con lo que vimos de que el conjunto {x ∈ Q /x² < 2} no tiene supremo en Q.

Ver que, ∀ x, y ∈ Q:

• i·(x + y) = [(x + y)] = [(x)] + [(y)] = i·(x) + i·(y)
• i·(x·y) = [(x·y)] = [(x)]·[(y)] = i·(x)·i·(y)
• x < y ⇒ [(x)] < [(y)] ⇒ i·(x) < i·(y)

Estos hechos nos permiten decir que i(Q) es un subcuerpo del cuerpo ordenado - arquimediano (ℜ, +, ·, <).

Habitualmente se identifica i(Q) con Q y se dice, simplemente que Q es subcuerpo de ℜ.

Para acabar con la construcción de ℜ falta probar el TFO que dice:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente de números reales tiene supremo.

• Demostración:

Supongamos que A ⊂ ℜ es no vacío y acotado superiormente.

Es fácil ver (consecuencia de la propiedad arquimediana) que entonces existen a, b en Q tales que b es cota superior de A y a no lo es.

A b lo llamamos x₁, dividimos por la mitad el [a, b]. Uno de los intervalos que resultan verifica lo mismo que [a, b] (extremo izquierdo no es cota superior de A, extremos der. si lo es)

Llamaremos x₂ al extremo derecho de éste, lo dividimos por la mitad, un de los dos intervalos que resultan verifica de nuevo lo de [a, b]. Llamamos x₃ a su extremo derecho, haciendo de nuevo la misma operación.

De esta forma obtenemos un sucesión de Cauchy de números racionales (x_n), es de Cauchy porque:

• p, q > υ ⇒ |x_p - x_q| < (b - a)/2^υ
• ∀ ε > 0, ∑ υ ∃ N ⇒ (b - a)/2^υ < ε

Veamos que el número real x_n es precisamente el supremo de A. Hay que ver:

1.- Que es cota superior de A

Supongamos que x_n no es cota superior de A, es decir, que existe [(y_n)] ∈ A / [(x_n)] < [(y_n)].

Significa que:

∃ M > 0, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ y_n - x_n > M

Por otra parte como (y_n) es de Cauchy:

∃ υ' ∈ N / p, q > υ' ⇒ |y_p - y_q| < M/2

Fijemos m > máx. (υ, υ') ⇒ n > máx. (υ, υ') ⇒ y_n - x_m = y_n - y_m + y_m - x_m > M/2 ⇒

⇒ x_m = [(x_m, x_m, x_m, ……)] no es cota superior de A porque es menor que [(y_n)], contra la hipótesis.

2.- Que si [(z_n)] es otra cota superior de A entonces: [(x_n)] < [(z_n)] (Véase)

(ℜ, +, ·, <) será en lo que sigue un conjunto de cosas (n^os reales) que verifica las 16 propiedades. Es decir, es un conjunto ordenado, arquimediano y completo.

Ejemplo de las propiedades de los números reales

Ejemplo n° 1

Demostrar que todo n° real positivo tiene una y sólo una raíz real positiva de cualquier otra, es decir, ∀ a ∈ ℜ₊, ∀ n ∈ N, ∃ * b ∈ ℜ₊ /bⁿ = a (b = a^1/n)

Esto ya sabemos que no es cierto en Q: ∫ b ∈ Q/b² = 2

Para demostrar esto utilizaremos una técnica que ya utilizamos cuando vimos que sup. {x ∈ ℜ / x² < 2} = b, tal que b² = 2

Es decir, ∀ a ∈ ℜ_+, ∀ n ∈ N el TFO afirma que existe b = sup. {x ∈ ℜ₊ / xⁿ < a}

Ver que en efecto, ese conjunto es no vacío y es acotado superiormente.

Ver que no puede ser bⁿ < a ni bⁿ > a (⇒ bⁿ = a)

Suponiendo que bⁿ < a ver que existe m ∈ N / bⁿ < (b + 1/m)ⁿ < a con lo que b no sería cota superior del conjunto.

bⁿ < (b + 1/m)ⁿ

bⁿ < b^{n - 1}(b + 1/m)

0 < 1/m ⇒ b < b + 1/m ⇒ b^{n - 1}(b + 1/m) < (b + 1/m)ⁿ ⇒ bⁿ < (b + 1/m)ⁿ

Como (b + 1/m)ⁿ < a ⇒ bⁿ no es cota superior.

Autor: Daniel Fernández. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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