Cálculo de límites de funciones (II)
Límite de una función racional en el infinito
Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x ⟶ ±∞, son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.
El límite de una función racional cuando x ⟶ ±∞, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador.
Si:
P(x) = a0 + a1·x + a2·x² + … + an·xn
Q(x) = b0 + b1·x + b2·x² + … + bn·xn
| lim x ⟶ ∞ | P(x) | = |
| Q(x) |
| lim x ⟶ ∞ | a0 + a1·x + a2·x² + … + an·xn | = |
| b0 + b1·x + b2·x² + … + bm·xm |
| lim x ⟶ ∞ | an·xn |
| bn·xn |
El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:
- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es ± ∞, dependiendo de que los signos de los cocientes an y bm sean iguales o distintos
- Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el límite es el cociente an/bm
- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el límite es 0
Ejemplos de cálculo de límites de funciones racionales (x ⟶ ∞)
Ejemplo n° 1
Calcular el límite de la función f(x) = (3·x² - 2·x - 5)/(x - 4), cuando x ⟶ ∞
Solución
En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ∞.
| lim x ⟶ ∞ | 3·x² - 2·x - 5 | = |
| x - 4 |
| lim x ⟶ ∞ | 3·x² | = |
| x |
| lim x ⟶ ∞ | 3·x | = +∞ |
| 1 |
Ejemplo n° 2
Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x² - 4), cuando x ⟶ ∞
Solución
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:
| lim x ⟶ ∞ | x³ - 5 | = |
| -x² - 4 |
| lim x ⟶ ∞ | x³ | = |
| -x² |
| lim x ⟶ ∞ | x | = -∞ |
| -1 |
Ejemplo n° 3
Calcular:
| lim x ⟶ ∞ | -3·x² - 2·x + 5 |
| 4·x² - 4 |
Solución
El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:
| lim x ⟶ ∞ | -3·x² - 2·x + 5 | = |
| 4·x² - 4 |
| lim x ⟶ ∞ | -3·x² | = -¾ |
| 4·x² |
Ejemplo n° 4
Calcular:
| lim x ⟶ ∞ | x² - x + 1 |
| x³ - 4·x + 3 |
Solución
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto:
| lim x ⟶ ∞ | x² - x + 1 | = |
| x³ - 4·x + 3 |
| lim x ⟶ ∞ | x² | = |
| x³ |
| lim x ⟶ ∞ | 1 | = 0 |
| x |
Cálculo de límites de funciones irracionales
Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz.
Son funciones irracionales las siguientes:
f(x) = √x - 3
g(x) = 3·x - √x² + 5
| h(x) = | √x - 1 |
| √x + 1 |
| k(x) = | x |
| √x |
El modo de calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo del límite de una sucesión irracional.
A. Cálculo del límite de una función irracional en un punto x0 finito
Estos límites se resuelven, en general, como si de una función racional se tratara.
En el caso de que, calculando el límite aparezca una indeterminación, ésta suele resolverse multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador o del denominador.
Ejemplos de cálculo de límites de funciones irracionales (x ⟶ x0)
Ejemplo n° 1
Calcular:
| lim x ⟶ 2 | √x - 2 |
Solución
| lim x ⟶ 2 | √x - 2 = √2 - 2 = 0 |
Ejemplo n° 2
Calcular:
| lim x ⟶ 1 | √x - 1 |
| x - 1 |
Solución
| lim x ⟶ 1 | √x - 1 | = | √1 - 1 | = 0/0, indeterminación. |
| x - 1 | 1 - 1 |
Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado del numerador, √x + 1:
| lim x ⟶ 1 | √x - 1 | = | lim x ⟶ 1 | (√x - 1)·(√x + 1) | = |
| x - 1 | (x - 1)·(√x + 1) |
| = | lim x ⟶ 1 | x - 1 | = | lim x ⟶ 1 | 1 | = |
| (x - 1)·(√x + 1) | √x + 1 |
| = | 1 | = ½ |
| √1 + 1 |
Ejemplo n° 3
Resolver el siguiente límite:
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 |
| x - 5 |
Solución
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | √5 - √5 | = |
| x - 5 | 5 - 5 |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = 0/0, indeterminación. |
| x - 5 |
Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por √5 + √5
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | lim x ⟶ 5 | (√x - √5)·(√x + √5) | = |
| x - 5 | (x - 5)·(√x + √5) |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | lim x ⟶ 5 | x - 5 | = |
| x - 5 | (x - 5)·(√x + √5) |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | lim x ⟶ 5 | 1 | = |
| x - 5 | √x + √5 |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | 1 | = ½·√5 |
| x - 5 | √5 + √5 |
Cálculo del límite de una función irracional en el infinito
B.1. Límites indeterminado de la forma ∞/∞
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ∞/∞, ésta se resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones racionales.
Ejemplos de cálculo de límites indeterminados de la forma ∞/∞
Ejemplo n° 1
Calcular el límite de la función f(x) = (4·x³ - 2)/(√x - 3), cuando x ⟶ ∞
Solución
| lim x ⟶ ∞ | 4·x³ - 2 | = | ∞ | , indeterminación. |
| √x - 3 | ∞ |
Haciendo uso de la regla mencionada, resulta:
∘ Grado del numerador = 3
∘ Grado del denominador = ½, (puesto que √x = x½)
Por lo tanto,
| lim x ⟶ ∞ | 4·x³ - 2 | = ∞ |
| √x - 3 |
Ejemplo n°2
Calcular el límite de la función:
| f(x) = | 5·x - 3 | , cuando x ⟶ ∞ |
| √4·x² + 3·x - 1 |
Solución
Calculando el límite del numerador y del denominador se obtiene:
| lim x ⟶ ∞ | 5·x - 3 | = | ∞ | , indeterminación. |
| √4·x² + 3·x - 1 | ∞ |
Estudiando los grados:
∘ Grado del numerador = 1
∘ Grado del denominador = 1 (puesto que √x² = x)
Por lo tanto, el límite es:
| lim x ⟶ ∞ | 5·x - 3 | = | 5 | = | 5 |
| √4·x² + 3·x - 1 | √4 | 2 |
3) Calcular:
| lim x ⟶ ∞ | √x5 + 2·x - 6 |
| x³ - 4·x + 2 |
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x5 + 2·x - 6 | = | ∞ | , indeterminación. |
| x³ - 4·x + 2 | ∞ |
| Grado del numerador: 5/2 Grado del denominador: 3 | 5/2 < 3 |
Por lo tanto, el límite es:
| lim x ⟶ ∞ | √x5 + 2·x - 6 | = 0 |
| x³ - 4·x + 2 |
B.2. Límites indeterminado de la forma ∞ - ∞
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación
∞ - ∞ ésta se resuelve generalmente multiplicando y dividiendo la función por su conjugada.
Ejemplos de cálculo de límites indeterminados de la forma ∞ - ∞
Ejemplo n° 1
Calcular el límite de la función y = √x² + 3 - x, cuando x ⟶ ∞.
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x² + 3 - x = ∞ - ∞, indeterminación. |
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, √x² + 3 + x
| lim x ⟶ ∞ | (√x² + 3·x - x)·(√x² + 3·x + x) | = |
| √x² + 3·x + x |
| lim x ⟶ ∞ | x² + 3·x - x² | = | 3 | = | 3 |
| √x² + 3·x + x | √1 - 1 | 2 |
Ejemplo n° 2
Calcular el límite de la función y = √x - 3 - √x + 3, cuando x ⟶ ∞.
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x - 3 - √x + 3 = ∞ - ∞, indeterminación. |
Se multiplica y se divide la función por su conjugada,
√x - 3 + √x + 3
| lim x ⟶ ∞ | (√x - 3 - √x + 3)·(√x - 3 + √x + 3) | = |
| √x - 3 + √x + 3 |
| lim x ⟶ ∞ | (x - 3) - (x + 3) | = |
| √x - 3 + √x + 3 |
| lim x ⟶ ∞ | -6 | = 0 |
| √x - 3 + √x + 3 |
Ejemplo n° 3
Calcular el límite de la función f(x) = √x + 1 - x, cuando x ⟶ ∞.
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x + 1 - x = ∞ - ∞, indeterminación. |
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, √x + 1 + x
| lim x ⟶ ∞ | (√x + 1 - x)·(√x + 1 + x) | = |
| √x + 1 + x |
| lim x ⟶ ∞ | x + 1 - x² | = -∞ |
| √x + 1 + x |
Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
¿Qué es una indeterminación en límites?