Matemática - Números complejos o imaginarios

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Apunte de Números complejos o imaginarios: Representación gráfica de un número complejo. Números conjugados y opuestos. Potencia. Producto. Cociente. Inverso. Radicación de un complejo.

Números Complejos

1. Números concretos

Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a,b) a,b Î Â

a = 1ª componente o componente real

b = 2ª componente o componente imaginaria

Z₁ =(a,0) es un número real

Z₂ =(0,b) es un número imaginario

Z₃ =(a,b) es un número complejo

2. Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es √-1 = i

3. Representación gráfica de un número complejo

Un número complejo Z = (a,b) se representa por un vector OPsiendo P = (a,b)

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

z = (a, b) = a + b.i = OP

4. Formas de expresar un número complejo

- Forma vectorial o par ordenado Z = (a,b)

- Forma binómica Z = a + b.i

- Forma polar Z = r _α

El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.

r =

El argumento del número complejo Z es α y es el ángulo que forma el número complejo Z con el eje real (en sentido positivo).

Z = r _α

- Forma trigonométrica o módulo argumental Z = r.(cos α + i.sen α)

r = / α = arctg (b/a)

5. Números conjugados y opuestos de otro complejo

Dado un complejo Z = a + b.i, su conjugado (Z) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.

Z = a - b.i

El complejo opuesto de Z = a + b.i es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.

-Z = -a - b.i

6. Potencias de la unidad imaginaria

iº = 1

i¹ = i = √-1

i ² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

Cuando el exponente es superior a 4 se divide entre 4, igualando el enunciado a i elevado al resto de la división.

iⁿ = i^{4.c + r} = i^4c.i^r = (i⁴)^c.i^r = i^r

n	4
r	c

7. Operaciones con números complejos

a) En forma binómica

1. Suma

Z₁ + Z₂ = (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i

2. Resta

Z₁ - Z₂ = (a + b.i) - (c + d.i) = (a + c) - (b + d).i

3. Producto

Z₁.Z₂ = (a + b.i).(c + d.i) = (a.c - b.d) + (b.c + a.d).i

4. Producto de un número real por un número complejo

k Î Â

k.Z₁ = k.(a + b.i) = k.a + k.b.i

5. Cociente

6. Inverso de un número complejo

7. Potencia de un complejo

Z₁ ² = (a + b.i) ² = a ² + (b.i) ² + 2.a.b.i = a ² + b ².i ² + 2.a.b.i = a ² - b ² + 2.a.b.i

b) En forma polar

1. Producto de complejos

Z₁.Z₂ = (r₁) _{α 1}.(r₂) _{α 2} = (r₁.r₂) _{α 1 + α 2}

2. Cociente de complejos

3. Potencia de un complejo

Z₁ⁿ = (r _α )ⁿ = rⁿ

4. Radicación de un complejo

La raíz enésima de un complejo Z = r _α tiene por módulo la raíz enésima de su módulo. Su argumento es:

(α + 360°.k)/n

El número de raíces es n para k=0; k=1;...k=n-1.