Matemática - Números Reales

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Apunte de Números Reales: Clasificación de las ternas originales. Las ternas primarias. Secuencia de las raíces.

INVESTIGACION TRANSCENDENTAL SOBRE TEORIA DE NUMEROS ELEMENTALES

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Continuación

Las siguientes son las propiedades de la sumatoria ƒ_(p/q) =:

Común denominador = q ²

Numerador del primer término λ = (q + 1)/2

Numerador del último término η = (2.p + q - 1)/2

Numero de términos = p.

En el ejemplo siguiente el denominador q, de la fracción generatriz, es par.

p/q = 5/6 Þ Y = 2².ƒ_(3/4) =

λ = (q + 1)/2 = (4 + 1)/2 = 5/2

η = (2.p + q - 1)/2 = (2.3 + 4 - 1).(2.3 + 4 - 1)/2 = 9/2

p/q = 3/4 Þ ƒ_(3/4) =

Por lo tanto:

Para la conformación de las ternas pitagóricas fraccionarias irracionales rigen los mismos parámetros que para la de las fraccionarias racionales:

Los siguientes son los tres casos posibles:

1- p es racional y q irracional

2- p es irracional y q racional

3- p y q son irracionales.

Para determinar el desarrollo de la sumatoria correspondiente al primer caso, cuando p es racional y q irracional, basta aplicar el método empleado cuando p y q son enteros, es decir p/q es racional.

Por ejemplo:

El número de términos de la sumatoria es N_t = p = 3

Para determinar el número de términos, que obviamente tiene que ser entero, si p es irracional y q racional, es necesario racionalizar p,. de esta manera el caso se reduce al anterior.

Por ejemplo: p/q = √5/ 7, racionalizando p, resulta que p/q = √5/7 = √5.√5/7.√5 = 5/(7.√5)

N_t = p = 5, entonces

Despejando Y, a partir de la fracción inicial √5/ 7, sin racionalizar √5:

Y =

Y =

Dado que , entonces

Por lo tanto,

Para el desarrollo de la sumatoria en el tercer caso, es decir cuando p y q son irracionales, también resulta evidente la necesidad de racionalizar p

(λ + 2) = (π.√3 + 3)/2 + 1 = (π.√3 + 5)/2

El número de términos es: N_t = p = 3.

Despejando Y a partir de la fracción inicial √3/ π, sin racionalizar √3:

Y =

, dado que Y = 2 ².ƒ_(√3/π)

entonces

Por lo tanto:

Para el mismo tercer caso, si (p, q) son irracionales propios, se procede en general de la siguiente manera:

(Denomino irracionales propios a los irracionales cuya racionalización es imposible).

(Selecciono 2 como factor auxiliar en el numerador y denominador de la fracción generatriz, ya que así se reducen a este número los términos de la sumatoria).

Cuando (p = 2), (λ + 1) = η, como en el caso siguiente:

Despejando Y a partir de la fracción inicial π/ε,

Por lo tanto, para toda fracción p/q, (p, q) irracionales propios,

Como, correspondiendo Y a una terna (X,Y,Z) que satisface las 8 condiciones establecidas en el teorema (1-D), aplicando entonces para X y Z, resulta:

*En referencia a la representación de enteros positivos impares como la suma de dos cuadrados, las nuevas expresiones anteriormente expuestas, no son válidas únicamente para enteros como son los hallazgos en esta materia de Fermat, Gauss y Jacobi; sino que también aplican para fracciones tanto racionales como irracionales.

Corolario (1-B). Dado que x ² = (Y + Z) y (Z - Y) = 1, esto implica, que el cuadrado de todo número impar mayor que 1, es igual a la suma de dos números enteros consecutivos, así:

X = (Y + Z) = (h/e) ² = (t/d) + (s/d) (E-6)

Z = (Y + 1) = s/d = (t/d + 1) Þ (Z - Y = 1) (E-8)

Corolario (1-C). Dado que [(h/e) ² + (t/d) ² = (s/d) ²], entonces, e = 2 Þ h/e es igual a un entero par y como (s/d - t/d = 1), resulta que el cuadrado de todo número impar es igual a la suma de dos fracciones racionales consecutivas.

(Consideramos que dos fracciones son consecutivas cuando su diferencia es 1).

Ejemplos:

Si p/q = 1/2 Þ (h/e) ² = (t/d) + (s/d) Þ (2 ² = 3/2 + 5/2) Þ (5/2 - 3/2 = 1)

Si p/q = 3/2 Þ (h/e) ² = (t/d) + (s/d) Þ (4 ² = 15/2 + 17/2) Þ (17/2 - 15/2 = 1)

Si p/q = 5/2 Þ (h/e) ² = (t/d) + (s/d) Þ (6 ² = 35/2 + 37/2) Þ (37/2 - 35/2 = 1)

Clasificación de las ternas originales.

1.- Enteras----------Las que están formadas por tres enteros.

2.- Fraccionarías---Dos o los tres términos son fracciones.

3.- Irracionales-----Uno o mas términos son irracionales.

Las ternas primarias.

Las ternas primarias son las formadas por enteros (a, b, c), que son primos relativos, es decir mcd(a,b,c) = 1, y satisfacen (a ² + b ² = c ²), pero c ≠ (b + 1) y tampoco cumplen el resto de condiciones necesarias para ser originales.

Dividiendo los tres términos, (a,b,c), de una terna primaria, por (c - d), obtenemos la correspondiente terna original en la cual la hipotenusa, del correspondiente triángulo, es igual al cateto mayor mas 1, por este medio podemos reducir cualquier terna primaria a su estado original.

Dividiendo (a, b, c) por (c - d) e igualando los resultados a (X,Y,Z) respectivamente, obtenemos:

[a/(c - b) = X, b/(c - b) = Y, c/(c - b) = Z],

Entonces [a/(c - b)] ² + [b/(c - b)] ² = [c/(c - b)] ² Þ x ² + Y ² = Z ² Þ Z = Y + 1.

Por ejemplo:

la terna primaria, (a, b, c) = (35, 56, 65), donde (a²¹ + b ² = c ²) = (33 ² + 56 ² = 65 ²) = (1089 + 3136 + 4425)

corresponden. (X = 33/9 = 11/3), (Y = 56/9), (Z = 65/9) , lo cual determina que la terna (11/3, 56/9, 65/9), sea original.
Entonces (11/3) ² + (56/9) ² = (65/9) ² = (x ² + Y ² = Z ²), donde (X = 11/3), (Y = 56/9), [Z = Y + 1 = (56/9 + 1) = 65/9]

Para obtener cada terna primaria (a,b,c) basta amplificar la correspondiente terna original fraccionaria. Por cada reemplazo de n por una diferente fracción (p/q), obtendremos una diferente terna original fraccionaria.

Las fracciones generatrices p/q = 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, originan las menores ternas fraccionarias originales, ordenadas de acuerdo a incrementos de X, (X entero y par), así:

(2, 3/2, 5/2), (4, 15/2, 17/2), (6, 35/2, 37/2), (8, 63/2, 65/2), (10, 99/2, 101/2), (12, 143/2, 145/2)

Las siguientes son las ternas primarias que corresponden respectivamente a las ternas originales del conjunto anterior, tales ternas cumplen (a ² + b ² = c ²), (a,b,c), son primos relativos, pero no satisfacen el resto de condiciones necesarias para ser originales.

(4, 3, 5), (8, 15, 17), 12, 35, 37), (16, 63, 65), (20, 99, 101), (24, 143, 145), (28, 195, 197)

p/q = {1/2, 3/2, 5/2, 7/2, ..., Þ X = {2, 4, 6, 8, 10, ..., Þ Y = { 3/2, 15/2, 35/2, 63/2, ..., Þ Z = {5/2, 17/2, 37/2, 65/2, ...,

Resulta el siguiente conjunto de ternas que satisfacen los parámetros necesarios para ser originales:

{(2, 3/2, 5/2), (4, 15/2, 17/2), (6, 35/2, 37/2), (8, 63/2, 65/2), (10, 99/2, 101/2), (12, 143/2, 145/2), ...,

Intercalando en forma ordenada, de acuerdo a los valores pares e impares de X, resulta:

{(2, 3/2, 5/2), (3, 4, 5), (4, 15/2, 17/2), (5, 12, 13), (6, 35/2, 37/2), (7, 24, 25), (8, 63/2, 65/2), ...,

A continuación probaremos el cumplimiento de la terna (2, 3/2, 5/2) con relación a los parámetros determinantes del estado original.:

Reduciendo a un común denominador, en este caso 2, al cancelar dicho denominador resultan las siguientes ternas primarias conformadas por tres enteros, (a,b,c),que son primos relativos, y satisfacen que (a ² + b ² = c ²), pero no así, las restantes condiciones necesarias para ser originales. Ejemplos:

{(4, 15/2, 17/2).2 = (8, 15, 17)}, {(6, 35/2, 37/2).2 = (12, 35, 37)} , {(8, 63/2, 65/2).2 = (16, 63, 65)}

Las ternas (8, 15, 17), (12, 35, 37), (16, 63, 654), son solamente primarias.

Secuencia de las raíces.

Dado que sen π /4 = cos π /4, esto determina que π /4 es un punto de convergencia, lo cual implica que X = Y, es decir, sí (p/q > 1/√2Þ X < Y) entonces X tiene que ser menor que Y. Esto es válido para las ternas fraccionarias originales y por ende para las primarias.

Recíprocamente, Sí (p/q < 1/√2 Þ X > Y) por lo tanto, las raíces originales {X, Y}, constituyen parejas ordenadas y sus respectivos valores no son permutables con relación al cumplimiento de las condiciones determinantes de la originalidad.

Permutando los valores correspondientes de (a,b), en una terna primaria, donde (a < b) Por ejemplo, la terna (20,21,29) donde a = 20 y b = 21 entonces la terna se convierte en (21,20,29), y por lo tanto:

a = 21 = (2.n + 1) Þ n = 2/3, b = 20, c = 29. Sí el valor de q correspondiente a una fracción generatriz p/q, es 2, esto determina una clase de ternas originales en las cuales X es un entero par y tanto Y como Z son fracciones cuyos numeradores son impares y sus denominadores son iguales a 2.

Sí q = 2 Þ X = h/e = (2.p/q + 1) = (2.p/2 + 1) = (p + 1), dado que, mcd(p, q) = 1 esto determina que p es impar y por lo tanto, (p + 1) es par.

q = 2 Þ Y = (p ² + 2)/2, Si p es impar Þ (p ² + 2) también es impar,

q = 2 Þ Y = (p ² + 4)/2, Sí p es impar Þ (p ² + 4) también es impar.

Los triángulos rectángulos isósceles.

La terna (1, 1, √2), asociada usualmente con estos triángulos no satisface las condiciones de originalidad. Considerando, que los catetos tienen que ser iguales entre sí, entonces (Y = X)

Por (E-7),

Por lo tanto,

Como X = (2.n + 1) = (1 + √2), despejando n, resulta que la fracción generatriz es: p/q = 1/√2.

Es interesante despejar la misma terna original a partir de Y = (2.n + 1), como sigue:

Como Y = 2.n.(n + 1) = (1 + √2) Þ 2.n² + 2.n - (1 + √2) = 0

La terna [(1 + √2), (1 + √2), (2 + √2)] satisface las condiciones para ser original.

Triángulos con ángulos complementarios de 30° y 60°

Dado que √3, 1, 2 representan los lados de tales triángulos, reducidos a su mínima expresión, y como
(Y = 1) = (2.n + 1) Þ p/q = (√3 - 1)/2 < 1/√2 Þ (X > Y), es decir (√3 > 1), La terna (√3, 1, 2), satisface las ecuaciones comprendidas entre (E- 1) y (E- 8).

Reemplazando n = {1, 2, 3, 4, 5, 6,..., las menores ternas originales enteras, ordenadas de acuerdo a incrementos en los valores impares de X, son las siguientes:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25),

(9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85)

El siguiente conjunto corresponde a las menores ternas primitivas, ordenadas de acuerdo al criterio ancestral, es decir a incrementos del valor de z:

(4, 3, 5), (12, 5, 13), (8, 15, 17),

(24, 7, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37),

A continuación mostramos las mismas ternas, ordenadas de acuerdo a incrementos de X:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17),

(7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37),

Las hipotenusas correspondientes a los triángulos de lados (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25). son respectivamente iguales al cateto mayor del triángulo, incrementado en 1.

Las hipotenusas correspondientes a los triángulos de lados

(8, 15, 17), (12, 35, 37), (20, 21, 29),

tienen una configuración, diferente a las anteriores, así:

(15 + 2), (35 + 2), (21 + 8)

respectivamente. A partir de esto sacamos como conclusión, que las ternas del primer arreglo son originales y las ternas del segundo son primarias.

Seguidamente reduciremos las ternas primarias (20,21,29), (12,35,37) a su correspondiente estado original,

Dividiendo: 20, 21, 29 por (c - b), es decir, por (29 - 21) = 8,resultan respectivamente (X = 20/ = 5/2), (Y = 21/8), (Z = 29/8) Como X = 5/2 = (2.n + 1), despejando n, resulta que p/q = 3/4, aplicando (E-1), (E-2), (E-3), comprobamos que (X,Y,Z) son respectivamente (5/2, 21/8, 29/8), esta terna es original, la otra, (20,21,29), solamente es primaria.

Dividiendo 12, 35, 37 por (c - b), es decir por 2, resultan:

(X = 12/2 = 6), Y = 35/2, (Z = 37/2)

Como X = 6 = (2.n + 1), despejando n, resulta que p/q = 5/2, aplicando (E-1), (E-2), (E-3), comprobamos que (X,Y,Z) son respectivamente (6, 35/2, 37/2) constituyendo la terna original correspondiente a la primaria (12, 35, 37).

(7/3, 20/9, 29/9) es la terna original correspondiente a la primaria (21,20,29). La original correspondiente a la primaria (20,21,29), es (5/2, 21/8, 29/8). El hecho de tener diferentes ternas originales, determina que los valores de (a,b) en una terna primaria no son, de acuerdo a lo expuesto con anterioridad, no son permutables y constituyen parejas ordenadas.

Interpretación geométrica.

Las ecuaciones (E-1), (E-2)), (E-3), son las ecuaciones paramétricas de un plano que corta los ejes de coordenadas (X,Y,Z), de tal manera que las distancias entre los puntos de intercepción con los ejes y el origen, corresponden siempre a los lados de un triángulo rectángulo, el plano determinado por dichas intersecciones está representado por la siguiente ecuación, en forma simétrica

X/A + Y/B + Z/C = 1

Donde A, B, C son las longitudes determinadas sobre los ejes por las intersecciones del plano.δ.

Para nuestro caso, las magnitudes de los segmentos son respectivamente:

A = |2.n + 1|, B = |2.n(n + 1)|, C = |2.n(n + 1) + 1|

Por lo tanto la ecuación es la siguiente:

Y en forma general:

Lugar geométrico

La ecuación δ es el lugar geométrico de las rectas que se desplazan de tal manera, que las

magnitudes de las distancias entre sus puntos de intercepción con los ejes de coordenadas y el origen satisfacen el conjunto de ecuaciones de (E-1) a (E-8).

La longitud entre el origen y los puntos donde el plano δ se intercepta con el eje Z, es equivalente a la longitud de la traza del mismo plano sobre el plano XY, es decir:

Las expresiones anteriores simbolizan la hipotenusa de todos los triángulos rectángulos, cuyos otros lados son respectivamente iguales a la raíz cuadrada de las cantidades subradicales.

Funciones trigonométricas.

Para la existencia de ternas originales irracionales, es necesario que cos ² α y sen ² α sean fracciones racionales que corresponden a los cuadrados de las respectivas funciones trigonométricas, determinadas por la apropiada razón entre los lados (X,Y,Z), de cualquier triángulo rectángulo, cuyas magnitudes son enteros o también fracciones tanto racionales como irracionales.

La razón apropiada entre las magnitudes (X,Y,Z)Î [Ζ⁺ È (Q ÈΦ)] representa las funciones trigonométricas para los ángulos de cada triángulo determinado por las intercepciones entre el plano δ y los ejes de coordenadas.

Las siguientes expresiones representan respectivamente las fracciones correspondientes a las funciones sen α, cos α, tang α, para todo ángulo α, (0 < α < π/2), de manera que sen ² α, cos ² α, tan ² α, son fracciones racionales. Dichas expresiones constituyen fórmulas cuyo ámbito es infinito.

Bajo el mismo contexto obtendremos fórmulas infinitas para el resto de funciones.

Y así sucesivamente para el resto de funciones.

Sí (q = 1), entonces p/q = p = {1, 2, 3, 4, 5,..., Por lo tanto, las fórmulas en función de las ecuaciones (E-1), (E-2), (E-3), desarrolladas anteriormente para la solución de las ternas enteras, se reducen así:

Resumen:

El trabajo es un estudio sobre la conformación de las ternas pitagóricas, en el mismo se determina el origen numérico del teorema de Pitágoras y se introduce una nueva clasificación para la conformación de las respectivas ternas también se determina la conformación de ternas fraccionarias.

Se cree que se conoce todo sobre dicho teorema, pero en esta investigación se revelan muchas propiedades sorprendentes que han permanecido ocultas durante milenios. También se puede encontrar un análisis sobre la interpretación geométrica y el lugar geométrico de la ecuación pitagórica lo mismo que formulas infinitas para las funciones trigonométricas.

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