Propiedades de los polinomios en una sola variable. Tipos de polinomios

Propiedades de los polinomios en una sola variable

Los polinomios son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

Los polinomios son expresiones algebraicas racionales y enteras. Sus operadores son: suma (+), resta (-) y multiplicación (·).

P(x) = 4·x² - 3·x³ + 5·x + 2

Grado de un polinomio:

Para el polinomio:

P(x) = 4·x² - 3·x³ + 5·x + 2

• Es el grado del término de mayor grado (donde se encuentre la variable con la mayor potencia).
• El término de primer grado se llama término lineal.
• El término de grado cero se denomina término independiente.
• El coeficiente del término que determina el grado del polinomio se denomina coeficiente principal.

Para el polinomio:

P(x) = 4·x² - 3·x³ + 5·x + 2

• Grado: 3.
• Término de primer grado: 5·x.
• Término de grado cero: 2 (ó término independiente).
• Coeficiente principal: -3.

Polinomio ordenado:

Se ordena por el exponente de la variable, normalmente de mayor a menor. Por ejemplo:

P(x) = 4·x² - 3·x³ + 5·x + 2 (desordenado)

P(x) = -3·x³ + 4·x² + 5·x + 2 (ordenado)

Monomios o términos semejantes:

Sean:

• P(x) = 2·x²
• Q(x) = ¾·x²
• R(x) = x²

Todos los monomios que (como los dados) tienen idéntica parte literal variable, reciben el nombre de monomios semejantes.

Polinomios opuestos:

Dos polinomios que tienen los términos semejantes opuestosy la misma cantidad de términos, se denominan polinomios opuestos.

Ejemplo:

P(x; y) = 2·x⁴·y - 3·y³ + 2

Q(x; y) = -2·x⁴·y + 3·y³ - 2

Se simboliza:

P(x; y) = -Q(x; y) ∨ -P(x; y) = Q(x; y)

Polinomio nulo:

Es aquel que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. Convenimos en que el polinomio nulo carece de grado.

Ejemplo:

P(x) = 0

• La suma de cualquier polinomio con el polinomio nulo es el mismo polinomio.
• La multiplicación de cualquier polinomio por el polinomio nulo es otro polinomio nulo.

P(x) + 0 = P(x)

P(x)·0 = 0

Polinomio neutro:

Es aquel que tiene todos sus coeficientes iguales a cero excepto el término independiente que es igual a 1. Convenimos en que el polinomio neutro es de grado cero.

Ejemplo:

P(x) = 1

• La multiplicación de cualquier polinomio por el polinomio neutro es el mismo polinomio.

P(x)·1 = P(x)

Valor numérico de un polinomio:

El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a, es el número que se obtiene al resolver las operaciones después de haber reemplazado en el polinomio a "x" por "a".

Se simboliza P(a)

Con el polinomio de ejemplo hallamos el valor numérico para x = 2:

P(x) = 4·x² - 3·x³ + 5·x + 2

Reemplazamos las x por el valor 2:

P(2) = 4·2² - 3·2³ + 5·2 + 2

P(2) = 4·4 - 3·8 + 5·2 + 2

P(2) = 16 - 24 + 10 + 2

P(2) = 4

Para x = 2, el valor numérico del polinomio es 4.

Teorema del Resto

El teorema del resto se aplica a la división entre un polinomio dividendo P(x) y un binomio divisor Q(x) de la forma "x + a".

P(x) = Q(x)·C(x) + R

C(x): es el cociente.

R: es el resto.

El resto de la división entre ambos es P(-a) = R, es decir que se calcula hallando el valor numérico del polinomio dividendo P(x) para x = -a.

Sí R = 0 entonces P(x) es divisible por Q(x).

Ejemplo:

Hallar el resto de la división entre:

P(x) = x³ - 2·x + 1

Q(x) = x + 3

Hacemos:

P(-3) = (-3)³ - 2·(-3) + 1

P(-3) = -27 + 6 + 1

P(-3) = -20

R = -20

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Qué es un polinomio? ¿Cuál es el término independiente de un polinomio?