Matemática - Sistemas de Ecuaciones

Contenido

Apunte de Sistemas de Ecuaciones: Polinomios. Suma, multiplicación y división de polinomios. Sistemas de ecuaciones. Métodos de sustitución, igualación, reducción y gráfico.

Trabajo de matemáticas

García Chico, Fco Javier
Algebra

1. Expresiones algebraicas

Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

Clases de expresiones algebraicas:

1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x ²

2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x ² + 3xy

3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.

Ej: 5x ² + 4y⁵ - 6x ²y

4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1°- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.

2°- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

3°- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.

2. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios

Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x³ + 5x³ - 6x³.

Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x³ + 5x³ - 6x³ = x³.

Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x ²y³= 12x³y⁴

División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x⁵y³:2x ²y= 2x³y²

Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.

Ej:

7x⁵+0x⁴+3x³+4x ²-2x

5x⁵+0x⁴+0x³ -x ² -x

12x⁵+0x⁴+3x³ +3x ² - 3x

Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.

Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.

Ej:

P(x) =	2x5+3x4-2x³-x ²+2x
Q(x) =	2x³
P(x).Q(x) =	4x8+6x7-4x6-2x5+4x4

División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.

Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.

Ej:

4x4	-2x³	+6x ²	-8x	-4	2x
-4x4					2x³-x ²+3x-4
0	-2x³
	+2x³
	0	+6x ²
		-6x ²
		0	-8x
			+8x
			0	-4

P(x):Q(x) = 2.x³ - x ² + 3.x - 4

R = - 4

3. Igualdades notables

1- Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.

Ej: (a+b) ²= a ²+2ab+b ²

2- Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Ej: (a-b) ²= a ²-2ab+b ²

3- Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.

Ej: (a+b)³= a³+3a ²b+3b ²a+b³

4- Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.

Ej: (a-b)³= a³-3a ²b+3b ²-b³

5- La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.

Ej: (a+b) (a-b)= a ²-b²

Las ecuaciones

1. Ecuación y función

Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama 1^er término y a la segunda se la llama 2° término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado.

Hay distintos tipos de igualdades:

Una igualdad numérica: 2+5=4+3

Una igualdad algebraica: 2x+3x=6x

Una función: 3x+2=y

Una función es una expresión algebraica igualada a y.

2. Resolución de ecuaciones

Para resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la incógnita el número desconocido, expresado normalmente por x.

Pasos para resolver una ecuación:

1°- Se quitan los paréntesis si los hubiere.

2°- Se quitan los denominadores si los hubiere.

3°- Se pasan todas las incógnitas al 1^er miembro de la igualdad.

4°- Se reducen los términos semejantes.

5°- Hallamos el valor de la incógnita.

Ej: 5x-7=28+4x ; 5x-4x=28+7 ; x = 35

Ecuaciones con denominadores:

Quitamos los denominadores por el m.c.m. para ello:

1°- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

2°-Ese es el denominador común y lo sustituimos por los denominadores anteriores.

3°- Se divide el m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el denominador.

Ej: x/2 - 4 = x/3 - 3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x = 6

3. Sistemas de ecuaciones

Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.

Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.

Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:

1°- Método de sustitución.

2°- Método de igualación.

3°- Método de reducción o de sumas y restas.

4°- Método gráfico.

Resolver un sistema por el método de sustitución:

1°- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2°- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3°- Pasamos las incógnitas al 1^er miembro de la igualdad y los números al 2° miembro.

4°- Reducimos los términos semejantes.

5°- Despejamos una incógnita y la sustituimos en la 2ª ecuación.

6°- Resolvemos la ecuación resultante.

Resolver un sistema por el método de igualación:

1°- Quitar los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2°- Quitar los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3°- Pasamos las incógnitas al 1^er miembro de la igualdad y los números al 2° miembro.

4°- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

5°- Igualar las incógnitas despejadas y resolver la ecuación resultante.

Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas:

1°- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2°- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3°- Pasamos las incógnitas al 1^er miembro de la igualdad y los números al 2° miembro.

4°- Igualar los coeficientes de una incógnita y cambiar de signo si son iguales.

5°- Sumar o restar el sistema que ha quedado al multiplicar y resolver la ecuación resultante.