Matemática - Sistemas de Ecuaciones

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Apunte de Sistemas de Ecuaciones: Matrices cuadradas. Matriz identidad. Matrices triangulares. Matrices diagonales. Traspuesta de una matriz. Matrices simétricas. Matrices ortogonales. Matrices normales.

Matriz

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Matrices

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a_× de la forma

	a11	a12	...	a1n
	a21	a22	...	a2n
	...	...	...	...
	am1	am2	...	a mn

La matriz anterior se denota también por (a_×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a_×).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ´ n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

La siguiente matriz es una matriz de 2 x 3:		1	-3	4
		0	5	-2

 

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas		1		,		-3		y		4
		0				5				-2

Clases de matrices

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ´ n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

A =		1	2	-3
		4	0	5
		3	-1	2

 

B =		2	-3
		-1	5

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (a_×) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a₁₁, a₂₂, ..., a_nn. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I · A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (a_{i j}) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d₁₁, d₂₂, ..., d_nn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A^T. Así, la traspuesta de

A =		3	-1	4
		2	5	-7
		4	0	9

es

AT =		3	2	4
		-1	5	0
		4	-7	9

En otras palabras, si A = (a_{i j}) es una matriz m x n, entonces A^T = (a^T_ij) es la matriz n x´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)^T = A^T + B^T.

2. (A^T)^T = A.

3. (kA)^T = kA^T (si k es un escalar).

4. (AB)^T = B^T A^T.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si A^T = A; y que es antisimétrica, si A^T = - A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

A =		2	-3	5
		-3	6	7
		5	7	-8

 

B =		0	3	-4
		-3	0	5
		4	-5	0

 

C =		1	0	0
		0	1	0

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A^T = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA ^T = A^T A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A^-1 = A^T. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

A =		a1	a2	a3
		b1	b2	b3
		c1	c2	c3

Si A es ortogonal, entonces:

A.AT =

a1

a2

a3

.

a1

b1

c1

=

1

0

0

= I

b1

b2

b3

a2

b2

c2

0

1

0

c1

c2

c3

a3

b3

c3

0

0

1

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA ^T = A^T A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Sea		6	-3		, entonces:
		3	6

 

A.AT =		6	-3		.		6	3	.	=		45	0
		3	6				-3	6				0	45

 

AT.A =		6	3		.		6	-3	.	=		45	0
		-3	6				3	6				0	45

Puesto que AA ^T = A ^T A, la matriz es normal.