Matemática - Sistemas de Ecuaciones

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Apunte de Sistemas de Ecuaciones: Adjunto de una matriz. Ejercicio: cálculo de la matriz inversa. Cálculo del rango de una matriz.

Matrices y determinantes

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (a_×) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A =		a11	a21	...	an1
		a12	a22	...	an2
		...	...	...	...
		a1n	a2n	...	a nm

Ejemplo:

Sea A =		1	2	-1
		0	-3	2
		2	1	5

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +	-3	2	= -17
	1	5

A12 = -	0	2	= 4
	2	5

A13 = +	0	-3	= 6
	2	1

A21 = -	2	-1	= -11
	1	5

A22 = +	1	-1	= 7
	2	5

A23 = -	1	2	= 3
	2	1

A31 = +	2	-1	= 1
	-3	2

A32 = -	1	-1	= -2
	0	2

A33 = +	1	2	= -3
	0	-3

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =		-17	-11	1
		4	7	-2
		6	3	-3

- Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A) · A = | A| I

De este modo, si | A| ≠ 0,

A^-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

A =		1	2	-1
		0	-3	2
		2	1	5

y

adj A =		-17	-11	1
		4	7	-2
		6	3	-3

y el det A:

det(A) =	1	2	-1	= -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0
	0	-3	2
	2	1	5

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A^-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

A-1 = (-1/15).		-17	-11	1
		4	7	-2
		6	3	-3

Ejercicio: cálculo de la matriz inversa

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a)

A =		1	2
		2	4

 

y B =		3	-1
		2	5

b)

A =		1	-3	2
		2	5	0
		0	-1	-2

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

det A =	1	2	= 0; como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A.
	2	4

det B =	3	-1	= 15 + 2 = 17
	2	5

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B₁₁ = 5 B₁₂ = -2

B₂₁ = 1 B₂₂ = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

adj B =		5	1
		-2	3

Aplicando ahora la propiedad

b) Empezaremos por hallar el det A,

det A =	1	-3	2	= -10 - 4 - 12 = -26
	2	5	0
	0	-1	-2

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +	5	0	= -10
	-1	-2

A12 = -	2	0	= 4
	0	-2

A13 = +	2	5	= -2
	0	-1

A21 = -	-3	2	= -8
	-1	-2

A22 = +	1	2	= -2
	0	-2

A23 = -	1	-3	= 1
	0	-1

A31 = +	-3	2	= -10
	5	0

A32 = -	1	2	= 4
	2	0

A33 = +	1	-3	= 11
	2	5

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =		-10	-8	-10
		4	-2	4
		-2	1	11

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A^-1:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A) = (-1/26).		-10	-8	-10		= simplificando,
		4	-2	4
		-2	1	11

 

A-1 =		5/13	4/13	5/13
		-2/13	1/13	-2/13
		1/13	-1/26	-11/26

Cálculo del rango de una matriz

Consideremos la matriz A = (a_ij):

A =		a11	a12	...	a1n
		a21	a22	...	a2n
		...	...	...	...
		am1	am2	...	a mn

1. El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A´ que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

2. Consideremos la matriz:

A₁ = (a₁₁, a₁₂, ..., a_1n)

y supongamos que

a₁₁ ≠ 0,

entonces :

rango (A) ≥ rango(A ₁) = 1

3. Añadimos filas de la matriz A a la matriz A₁ hasta encontrar una matriz que cumpla:

A2 =		a11	...	a1n		, donde (1 < i ≤ n),:
		ai1	...	ain

tal que posea un menor no nulo de la forma:

a11	a1j	≠ 0
ai1	aij

Por consiguiente,

rango (A) ≥ rango(A ₂) = 2.

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango (A) = 1.

Supongamos que rango (A) ≥ rango (A₂) y que i = 2 y j = 2.

4. Añadimos filas a la matriz A₂ hasta encontrar una matriz que cumpla:

A3 =		a11	a12	a1j
		a21	a22	a2j
		ai1	ai1	aij

de forma que posea un menor de orden tres de la forma:

a11	a12	a1j	≠ 0
a21	a22	a2j
ai1	ai2	aij

Entonces:

rango (A) ≥ rango (A₂) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:

rango (A) = rango (A₂) = 2.

Suponiendo que rango (A) ≥ rango (A₃) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

A =		1	2	-5
		3	6	5
		0	-1	4

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

1	2	= 6 - 6 = 0
3	6

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

1	-5	= 2 - (-15) = 2 + 15 = 17 ≠ 0
3	2

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

1	2	-5	= 24 + 0 + 15 - 0 - 24 + 2 = 17 ≠ 0
3	6	2
0	-1	4

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango

(A) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 ´ 4.

B =		1	-2	1	0
		2	-4	2	-1
		1	1	1	3

 

1	-2	= -4 + 4 = 0
2	-4

1	1	= 2 - 2 = 0
2	2

1	0	= -1 + 0 = -1 ≠ 0
2	-1

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

1	-2	1	= -4 - 4 + 2 + 4 + 4 - 2 = 0
2	-4	2
1	1	1

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

1	-2	0	= -12 + 2 + 0 + 0 + 12 + 1 = 3 ≠ 0
2	-4	-1
1	1	3

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.