Problema n° 2 de trigonometría - TP02
Enunciado del ejercicio n° 2
Resolver las siguientes identidades:
| a) tg α + cotg α = | 1 |
| sen α·cos α |
b) (sen α + cos α)² + (cos α - sen α)² = 2
| c) | (1 + cos α)·(1 - cos α) | = sec α - cos α |
| cos α |
d) sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α
| e) | cos² α - sen² β | = tg² (π/2 - α)·tg² (π/2 - β) - 1 |
| sen² α·sen² β |
| f) | sen (α + β) + cos (α - β) | = | sen α + cos α |
| sen (α - β) - cos (α + β) | sen α - cos α |
g) cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β
| h) | tg (α + β) + tg (α - β) | = | 2·tg α |
| 1 + tg² β | 1 - tg² α·tg² β |
| i) | 1 | = cos² α |
| 1 + tg² α |
Solución
a)
| sen α | + | cos α | = | 1 |
| cos α | sen α | sen α·cos α |
| sen α·sen α + cos α·cos α | = | 1 |
| sen α·cos α | sen α·cos α |
| sen² α + cos² α | = | 1 |
| sen α·cos α | sen α·cos α |
| 1 | = | 1 |
| sen α·cos α | sen α·cos α |
∎
b)
sen² α + 2·(sen α)·(cos α) + cos² α + sen² α - 2·(sen α)·(cos α) + cos² α = 2
sen² α + cos² α + sen² α + cos² α = 2
(sen² α + cos² α) + (sen² α + cos² α) = 2
1 + 1 = 2 ∎
c)
| (1 + cos α)·(1 - cos α) | = sec α - cos α |
| cos α |
| 1² - cos² α | = sec α - cos α |
| cos α |
| 1 - cos² α | = sec α - cos α |
| cos α |
| 1 | - | cos² α | = sec α - cos α |
| cos α | cos α |
sec α - cos α = sec α - cos α ∎
d)
sen4 α - sen² α = cos4 α - cos² α
(sen² α)² - sen² α = cos4 α - cos² α
(1 - cos² α)² - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α
(1² - 2·1·cos² α + cos4 α) - (1 - cos² α) = cos4 α - cos² α
1 - 2·cos² α + cos4 α - 1 + cos² α = cos4 α - cos² α
-cos² α + cos4 α = cos4 α - cos² α ∎
e)
| cos² α - sen² β | = tg²(π/2 - α)·tg²(π/2 - β) - 1 |
| sen² α·sen² β |
| = [ | sen (π/2 - α) | ]²·[ | sen (π/2 - β) | ]² - 1 |
| cos (π/2 - α) | cos (π/2 - β) |
| = ( | sen π/2·cos α - cos π/2·sen α | · | sen π/2·cos β - cos π/2·sen β | )² - 1 |
| cos π/2·cos α + sen π/2·sen α | cos π/2·cos β + sen π/2·sen β |
| = ( | 1·cos α - 0·sen α | · | 1·cos β - 0·sen β | )² - 1 |
| 0·cos α + 1·sen α | 0·cos β + 1·sen β |
| = ( | cos α | · | cos β | )² - 1 |
| sen α | sen β |
| = | cos² α | · | cos² β | - 1 |
| sen² α | sen² β |
| = | cos² α·cos² β | - 1 |
| sen² α·sen² β |
| = | cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β |
| sen² α·sen² β |
| = | cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) |
| sen² α·sen² β |
| = | cos² α - cos² α·sen² β - sen² β + cos² α·sen² β |
| sen² α·sen² β |
| = | cos² α - sen² β |
| sen² α·sen² β |
∎
f)
Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:
| sen (α + β) + cos (α - β) | = | sen α + cos α |
| sen (α - β) - cos (α + β) | sen α - cos α |
| (sen α + cos α)·(cos β + sen β) | = |
| (sen α - cos α)·(cos β + sen β) |
Simplificamos:
| sen α + cos α | = | sen α + cos α | ∎ |
| sen α - cos α | sen α - cos α |
g)
cos (α + β)·cos (α - β) = cos² α - sen² β
(cos α·cos β - sen α·sen β)·(cos α·cos β + sen α·sen β) = cos² α - sen² β
(cos α·cos β)² - (sen α·sen β)² = cos² α - sen² β
cos² α·cos² β - sen² α·sen² β = cos² α - sen² β
cos² α·(1 - sen² β) - (1 - cos² α)·sen² β = cos² α - sen² β
cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β
cos² α - cos² α·sen² β - (sen² β - cos² α·sen² β) = cos² α - sen² β
cos² α - sen² β = cos² α - sen² β ∎
h)
| tg (α + β) + tg (α - β) | = | 2·tg α |
| 1 + tg² β | 1 - tg² α·tg² β |
Operamos con el primer término y al segundo lo dejamos fijo:
| tg α + tg β | + | tg α - tg β | |
| 1 - tg α·tg β | 1 + tg α·tg β | = | |
| 1 + tg² β | |||
| (tg α + tg β)·(1 + tg α·tg β) + (tg α - tg β)·(1 - tg α·tg β) | |
| (1 - tg α·tg β)·(1 + tg α·tg β) | = |
| 1 + tg² β |
| tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - (tg β - tg α·tg² β) | = |
| [1 - (tg α·tg β)²]·(1 + tg² β) |
| tg α + tg² α·tg β + tg β + tg α·tg² β + tg α - tg² α·tg β - tg β + tg α·tg² β | = |
| (1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β) |
| 2·tg α + 2·tg α·tg² β | = |
| (1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β) |
Simplificamos:
| 2·tg α·(1 + tg² β) | = |
| (1 - tg² α·tg² β)·(1 + tg² β) |
| 2·tg α | = | 2·tg α | ∎ |
| 1 - tg² α·tg² β | 1 - tg² α·tg² β |
i)
| 1 | = cos² α |
| 1 + tg² α |
| 1 | = cos² α |
| 1 | |
| cos² α |
| 1·cos² α | = cos² α |
| 1 |
cos² α = cos² α ∎
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas