Matemática - Vectores

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Apunte de Vectores: Producto de números por vectores. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de escalares. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de vectores.

VECTORES (2° parte)

Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.

PRODUCTO DE VECTOR POR NUMERO REAL

Sean a un vector del plano y r un número real. Se define el producto r · a de la siguiente forma:

a) Si r = 0 ó a = 0, el producto es r· a = 0

b) El caso contrario, es decir, si a ≠ 0 y r ≠ 0, se define:

- El módulo de r · a es | r· a| = |r|.|a|, donde | r| es el valor absoluto de r.

- La dirección de r · a es la misma que la de a.

- El sentido de r · a es el mismo que el de a si r es positivo, y contrario si r es negativo.

Obsérvese que el producto de un vector por un número sólo puede ser nulo en el caso de serlo alguno de ellos. En dichos casos las propiedades son de comprobación inmediata, por lo que, en lo que sigue, se supondrá que tanto el número como el vector son no nulos.

Primeras propiedades del producto de números por vectores

1 . Dado un vector a se verifica que 1· a = a.

Demostración:

En efecto, |1· a | = |1| | a| = | a|

Por definición 1· a tiene la misma direción que a.

Como 1 es positivo, el sentido de 1· a es el de a.

Por tener el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido,los vectores libres a y 1· a coinciden.

2. Para cualquier vector a, se verifica que (-1)· a = - a

Demostración:

Para verlo conviene recordar que - a tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de a. Si se concluye que (-1)· a cumple esas tres condiciones, se tendrá la propiedad dada.

|(-1)· a| = |-1| | a| = 1| a| = | a|

La dirección de (-1)· a es la de a.

El sentido de (-1)· a es opuesto al de a, porque -1 es negativo.

Así pues (-1)· a tiene módulo, dirección y sentido iguales a los de - a. Por tanto:

(-1)· a = - a.

3. Sean a y b dos vectores no nulos. Entonces:

Si a y b tienen la misma dirección, existe un número r tal que a = r · b; y res positivo si a y b tienen el mismo sentido, y negativo en caso contrario.

Además, de a = r.b, se deduce que |a| = |r|.|b| Þ |r| = |a|/|b|

A partir de ahora, para diferenciar números de vectores, a los primeros se les llamará, a menudo, escalares.

Otras propiedades del producto de escalares por vectores

1. Dados dos números reales r y s, y un vector a se tiene:

(r.s) a = r (s. a)

(Debido al extraordinario parecido que tiene esta propiedad con la propiedad asociativa del producto de números, a veces se la denomina propiedad asociativa.)

2. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de escalares

Dados dos números r y s y un vector a, se cumple la igualdad:

(r + s) a = r a + s a

Demostración:

Se hará únicamente en el caso r, s > 0. Para comprobarlo en los demás casos, bastará con hacer pequeñas modificaciones teniendo en cuenta los sentidos de los vectores.

Los vectores r a y s a tienen la misma dirección y el mismo sentido. Al sumarlos se suman los módulos y se mantienen la dirección y el sentido.

Así pues, | r a + s a| = | r a| + | s a| = r| a| + s| a|

Pero |(r + s) a| = (r + s)| a| = r| a| + s| a|

Luego ambos vectores tienen el mismo módulo.

La dirección y el sentido de ambos coinciden con los de a.

Por tener iguales el módulo, la dirección y el sentido ambos vectores libres son iguales.

3. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de vectores

Dados un número real r y dos vectores a y b, se verifica r(a + b) = r a + r b.

Demostración:

- Para demostrarlo se elige un punto P del plano y a partir de él se llevan los vectores a = PH y r a = PH´

- Se construye el vector b con origen en H, obteniéndose el punto M.

- Prolongando la recta PM y trazando por H ´ una paralela a HM, se obtiene M ´ como punto de intersección.

- Los dos triángulos P H M y P H´M´ son semejantes por el teorema fundamental de semejanza de triángulos. Su razón de semejanza es:

PH´/PH = r por ser PH´ = r.a y PH = a.

Así pues, H´M´/HM = r, con lo que H´M´ = r.HM

Puesto que los vectores HM y H´M´ tienen la misma dirección y sentido, se tiene que H´M´ = r.HM = r.b
De la misma forma PM' = r.PM, de donde se da la igualdad vectorial PM' = r.PM.

- Ya es fácil demostrar el resultado enunciado:

r.(a + b) = r.(PH + HM) = r.PM = PM´

r.a + r.b = PH´ + H´M´ = PM´.

De ahí la igualdad.

Ejercicio de aplicación

Dados un número real x y un vector a, demostrar que (-x) a = x(- a) = -(x a)

Resolución:

Se comprobará que los dos primeros vectores son iguales a -(x a) o, lo que es lo mismo, que sumados a x a el resultado es el vector 0.

(-x).a + x.a = [(-x) + x ].a = 0.a = 0, luego (-x).a = -(x.a)

De la misma forma, x(- a) + x a = x [(- a) + a] = x· 0, luego x(- a) = -(x a)