Matemática - Vectores

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Apunte de Vectores: Combinaciones lineales. Bases coordenadas. Producto escalar. Propiedades del producto escalar.

VECTORES (3° parte)

Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.

COMBINACIONES LINEALES

Dada una familia de vectores u₁, u₂, u₃,... y un vector cualquiera x, se dice que x es combinación lineal de la familia, si existen números reales x₁ , x₂ , x₃, ... tales que

x = x₁u₁ + x₂u₂ + x₃u₃ + ...

Primera propiedad

Los vectores que son combinación lineal de un solo vector u son el vector 0 y todos los vectores que son paralelos a u.

Demostración:

Si x es combinación lineal de u, es de la forma x = r..u. Entonces:

a) Si r = 0, x = 0. u = 0

b) Si r ≠ 0, x = r . u, luego x es paralelo a u por tener ambos la misma dirección.

Segunda propiedad

Dados dos vectores del plano u₁ y u₂que tengan distinta dirección, el único vector que es combinación lineal de cada uno de ellos es el vector 0.

Demostración:

Si hubiese un vector no nulo que fuese combinación lineal de cada uno de ellos, también habría de ser paralelo a cada uno de ellos, con lo que u₁ y u₂ han de ser paralelos entre sí, lo cual va contra la hipótesis.

Teorema

Sean u₁ y u₂ dos vectores del plano con distinta dirección. Entonces cualquier vector x del plano se puede poner de manera única como combinación lineal de u₁ y u₂.

Demostración:

- Considérese P un punto cualquiera del plano y trácense, con origen en P, representantes de los vectores u₁, u₂ y x.

- Llamando A al extremo de x, se trazan por él paralelas a los vectores u₁ y u₂.

Prolongando las rectas que contienen a u₁ y u₂, se obtienen los puntos B y C.

De la figura se deduce inmediatamente que PA = PB + PC.

Pero PB es paralelo a u₁, por lo que se tiene que PB = x₁ u₁, para un cierto número x₁

Análogamente PC = x₂u₂, para cierto escalar x₂.

Por tanto x = PA = PB + PC = x₁ u₁ + x₂u₂.

- Falta ver la unicidad:

Si x = y₁ u1 + y₂ u₂, x₁ u₁ + x₂ u₂ = y ₁ u₁ + y₂ u₂ Þ (x₁ - y₁) u₁ = (x₂- y₂) u₂

con lo que se tiene un vector que es combinación lineal de cada uno de ellos. Por la segunda propiedad vista anteriormente, se concluye que dicho vector ha de ser 0.

Así, (x₁ - y₁) u₁ = (x₂- y₂) u₂ = 0. Para ello han de ser 0 los coeficientes, es decir:

x1 - y1 = 0 Þ x1 = y1 x2 - y2 = 0 Þ x2 = y2

Luego los números dados son únicos.

BASES COORDENADAS

Se llama base del plano a cualquier pareja de vectores {u₁, u₂} del mismo, que tengan distinta dirección.

Dados una base del plano {u₁, u₂} y un vector x, se llama coordenadas de x respecto de la base a los números reales x₁ y x₂ que verifican que x = x₁ u₁ + x₂ u₂.

Por el teorema demostrado anteriormente, las coordenadas de un vector respecto de una base existen y son únicas.

Ejercicios de aplicación

Sea {u₁, u₂} una base del plano. Decir si las siguientes parejas de vectores son bases:

a) {2.u₁ + 3.u₂, 3.u₁ + u₂}

b) {3.u₁ - 2.u₂, 6.u₁ - 4.u₂}

Resolución:

Para ver si dos vectores constituyen una base hay que comprobar si tienen o no la misma dirección. Pero ya se vio que dos vectores tienen la misma dirección cuando uno de ellos es combinación lineal del otro.

a) Hay que ver si existe un número t tal que

t.(2.u₁ + 3.u₂) = 3.u₁ + u₂

2.t.u₁ + 3.t.u₂ = 3.u₁ + u₂

Por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto de una base se ha de verificar que:

2 t = 3 Þ t = 3/2

3 t = 1 Þ t = 1/3

Pero no hay ningún número que verifique simultáneamente ambas condiciones.

Así pues, los dos vectores tienen distinta dirección y, por tanto, constituyen una base.

b) Se repite el proceso:

t.(3.u₁ - 2.u₂) = 6.u₁ - 4.u₂

3.t.u₁ - 2.t.u₂ = 6.u₁ - 4.u₂

Igualando coordenadas:

3 t = 6 Þ t = 2

-2 t = -4 Þ t = 2

es un número válido para la igualdad. Los vectores dados tienen la misma dirección y, por tanto, no constituyen una base.

Sea { u₁, u₂} una base del plano vectorial y sean x₁, x₂, y₁e y₂ números reales.

Demostrar que el conjunto {x₁.u₁ + x₂.u₂,y₁.u₁ + y₂.u₂} es una base si x₁/y₁ ≠ x₂/y₂

Resolución:

- Para que dos vectores a y b formen base, no han de ser paralelos, es decir, no ha de existir un t que verifique t a = b.

Supóngase que

t.(x₁.u₁ + x₂.u₂) = y₁.u₁ + y₂.u₂

t.x₁.u₁ + t.x₂.u₂ = y₁.u₁ + y₂.u₂

t.x₁ = y₁ Þ t = x₁/y₁

t.x₂ = y₂ Þ t = x₂/y₂

- Para que los vectores no sean paralelos se ha de verificar x₁/y₁ ≠ x₂/y₂, condición impuesta.

Sea { u₁, u₂} una base del plano. Comprobar que {2 u₁ + u₂, u₁ - u₂} es una base del plano y hallar las coordenadas del vector 5 u₁ + 4 u₂ respecto de dicha base.

Resolución:

t.(2.u₁ + u₂) = u₁ - u₂

2.t.u₁ + t.u₂ = u₁ - u₂

Igualando las coordenadas: 2 t = 1 y t = -1.

Puesto que ningún número verifica ambas condiciones, los vectores dados constituyen una base, por no ser paralelos.

- Se trata ahora de calcular las coordenadas del vector 5 u₁ + 4 u₂ respecto de dicha base. Las coordenadas son los dos números x₁y x₂ tales que:

5 u₁ + 4 u₂ = x₁.(2.u₁ + u₂) + x₂.(2.u₁ -+ u₂)

Operando en dicha igualdad:

5.u₁ + 4.u₂ = 2.x₁.u₁ + x₁.u₂ + x₂.u₁ - x₂.u₂ = (2.x₁ + x₂).u₁ - (x₁ - x₂).u₂

Por unicidad de las coordenadas de un vector respecto de la base { u₁ , u₂}

2.x₁ + x₂ = 5 Þ x₂ = 5 - 2.x₁

x₁ - x₂ = 4 Þ x₁ = 4 + 5 - 2.x₁ Þ x₁ = 3

x₂ = -1

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores no nulos del plano, se llama producto escalar al número obtenido como producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman:

a•b = |a|.|b|.cos α

Si alguno de los dos vectores fuese el vector 0, su producto escalar sería igual a 0.

Propiedades del producto escalar

. Primera propiedad del producto escalar

El producto escalar de dos vectores a y b es igual al producto del módulo de a por la proyección de b sobre a (este producto será positivo si a y la proyección de b sobre él tienen el mismo signo, y negativo en caso contrario).

Demostración:

La proyección de b sobre a es un segmento de medida x.

Por la resolución de triángulos rectángulos se sabe que cos α = x/b

Sustituyendo en la definición de producto escalar:

a.b = |a|.|b|.cos α = |a|.|b|.(x/|b|) = |a|.x, que es la fórmula que se quería demostrar.

- Propiedad conmutativa del producto escalar de vectores

Dados dos vectores a y b, a.b = b. a

Demostración:

a•b = |a|.|b|.cos α = |b|.|a|.cos α = a•b

- Propiedad distributiva respecto de la suma

Dados tres vectores cualesquiera a, b y c del plano, a.(b + c) = a.b + a.b

Demostración:

Para demostrarlo se utiliza la primera propiedad del producto escalar.

En la figura, la proyección de b sobre a es el segmento x, la proyección de c sobre a, es el segmento y, y la proyección de b + c sobre a es el segmento x + y.

Así pues:

a.(b + b) = |a|.(x + y) a.b = |a|.x a.c = |a|.y

a.b + a.c = |a|.x + |a|.y = |a|.(x + y) = a.(b + b)

- Propiedad de linealidad

Si se multiplica uno de los factores de un producto escalar por un número real, el producto escalar queda multiplicado por dicho número.

(x.a). b = x.(a.b)

Demostración:

Se excluirán los casos en que alguno de los datos sea nulo. Se distinguen dos casos:

- Si x > 0, | x a| = x| a|; y x a tiene el mismo sentido que a, con lo que formará con b el mismo ángulo que forma con a.

Así, (x.a.b) = |x.a|.|b|.cos α = x.|a|.|b|.cos α = x.(a.b)

- Si x < 0, | x a| = (- x)| a|; y por tener sentido opuesto al de a, forma con b un ángulo suplementario al que forma con a.

Pero cos (180° - α) = - cos α, luego:

(x.a)•b = |x.a|.|b|.cos (180° - α) = (-x).|a|.|b|.(-cos α) = x.|a|.|b|.cos α = x.(a•b)

- Propiedad de ortogonalidad (perpendicularidad)

Dados dos vectores no nulos a y b, si a.b = 0, entonces a y b son perpendiculares, y si a y b son perpendiculares, entonces a.b = 0

Demostración:

a) Como a y b son nulos, se tiene que |a|.|b| ≠ 0, con lo que:

a.b = 0

|a|.|b|.cos α = 0 Þ cos α = 0 Þ α = 90°, es decir, a ^ b

b) Si a y b son perpendiculares, forman entre sí un ángulo de 90°, entonces

a.b = |a|.|b|.cos 90° = |a|.|b|.0 = 0

- Positividad del producto escalar

Dado un vector cualquiera a, a.a ≥ 0.

Demostración:

Dado un vector cualquiera, se tiene que a .a = |a| ² (pues cos 0° = 1) y, por tanto, se tiene que a ˆ a≥ 0.

El único caso en que a ˆ a = 0 es cuando a = 0