Matemática - Vectores

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Apunte de Vectores: Cálculo del producto escalar.

VECTORES (4° parte)

Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.

Cálculo del producto escalar

Puesto que a.b = | a| | b| cos α, parece sencillo calcular a . b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.

En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.

Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {u₁,u₂} del plano tienen coordenadas (x₁, x₂) e (y₁, y₂), es decir:

x = x₁.u₁ + x₂.u₂

y = y₁.u₁ + y₂.u₂

Además,

u₁.u₁ = a

u₁.u₂ = u₂.u₁ = b

u₂.u₂ = c

El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)

x.y = (x₁.u₁ + x₂.u₂).(y₁.u₁ + y₂.u₂)

x.y = (x₁.u₁).(y₁.u₁) + (x₁.u₁).(y₂.u₂) + (x₂.u₂).(y₁.u₁) + (x₂.u₂).(y₂.u₂)

x.y = x₁.y₁.(u₁.u₁) + x₁.y₂.(u₁.u₂) + x₂.y₁.(u₂.u₁) + x₂.y₂.(u₂.u₂)

x.y = x₁.y₁.a + x₁.y₂.b + x₂.y₁.b + x₂.y₂.c

x.y = x₁.y₁.a + (x₁.y₂ + x₂.y₁).b + x₂.y₂.c

Ejercicio: cálculo del producto escalar de dos vectores

Hallar el producto escalar de los vectores a = 2 u₁ + 3 u₂ y b = 4 u₁ - u₂, donde {u₁,u₂} es una base del plano en la que |u₁| = 2, |u₂| = 1 y ambos vectores, u₁ y u₂ ,forman un ángulo de 60°.

Resolución:

a.b = (2.u₁ + 3.u₂).(4.u₁ - u₂) = 8.(u₁.u₁) + 10.(u₁.u₂) - 3.(u₂.u₂)

u₁.u₁ = |u₁| ² = 4

u₁.u₂ = u₂.u₁ = |u₁|.|u₂|.cos 60° = 2.1.(1/2) = 1

u₂.u₂ = |u₂| ² = 1

a.b = 8.4 + 10.1 - 3.1 = 32 + 10 - 3 =39

Cálculo del módulo de un vector

Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.

Como a.a = |a| ², el módulo de a es:

|a| = √a•a

Cálculo del ángulo formado por dos vectores

Como a.b = |a|.|b|.cos α, despejando se obtiene: