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Guía de ejercicios resueltos de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. TP26

Cinemática: Solución del ejercicio n° 1 de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Problemas resueltos.

Problema n° 1 de movimiento uniformemente variado.

Problema: Se quiere hacer un viaje a la estrella más cercana para investigar los planetas que se encuentran en la misma posición que la tierra a nuestro sol, por lo tanto se realizara un viaje a la constelación de alfa centauri a una de sus estrellas llamada próxima centauri, que se encuentra a 4,2 años luz (aproximadamente). Queremos, para la comodidad del viajero, viajar con una aceleración constante y similar a la de la tierra (9,81 m/s2). El viaje no tiene que superar la mitad de la velocidad de la luz.

¿Cuándo tiempo le costara a la nave ir y venir, sin contar el tiempo de investigación, desde el punto de vista para nosotros?

Desarrollo

Datos:

Aceleración = 9.81 m/s²

Velocidad máxima = c/2 (c = velocidad de la luz)

Velocidad inicial = 0 = v0

Tiempo inicial = 0 = t0

Tiempo final = ?

Solución

Dividiremos el viaje en 3 partes la parte donde aceleramos para alcanzar la mitad de c, donde desaceleramos a partir de la mitad de c, y la parte donde la velocidad es constante o sea a la mitad de c.

Primera parte:

Necesitamos alcanzar la mitad de c, por lo tanto utilizaremos ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Tenemos: a = Constante

dv/dt = a

dv = a.(dt)

Integrando y Resolviendo con valores iníciales

Por lo tanto: c/2 = a.t = velocidad máxima

Ahora si calculamos cuanto tiempo nos tardara para llegar a c/2 con aceleración cte.

Por lo tanto t = c/2.a = 15290519,88 seg

Ahora calcularemos la distancia que se recorrió por haber acelerado constantemente.

dv/dt = a = constante

Resolviendo

v - v0 = a.t

Donde v0 es velocidad inicial, sustituimos v:

dx/dt - v0 = a.t

Entonces resolviendo tenemos que:

x = x0 + v0.t + a.t²/2

Sustituyendo valores iníciales tenemos que:

x = a.t²/2 = 1,146788991 . 1015 metros

Como tenemos el tiempo y la aceleración entonces podemos deducir la distancia que se recorrería en dicho intervalo.

Otra forma de hacerlos es: a.dx = v.dv

Evaluando de 0 a c/2 y sustituyendo valores iníciales como v0 = 0 y x0 = 0 tenemos:

x = 1,146788991 . 1015 metros = 0,1212147872 años luz

A esta distancia no aceleraríamos más ya que estamos a la mitad de la velocidad de la luz.

Pero consideramos que próxima centauri se encontraba a 4,2 años luz por lo tanto:

Nos queda recorrer 3,957570426 años luz (restándole el doble de la distancia antes resuelta ya que antes de llegar desaceleraríamos a 9,81 m/s²)

Entonces v = d/t y t = (d/v)

Este es el tiempo que nos tomaría recorrer la distancia en la cual no aceleramos.

El tiempo total de ida y venida seria de la suma del tiempo en donde a = 0 y el tiempo para llegar a c/2 además de multiplicar este ultimo por 2 (por la desaceleración)

Entonces tenemos que el tiempo de ida es de: 280192921,7 seg

Por lo tanto el tiempo de viaje seria el doble: 560385843,3 seg o lo que es más bien: 17,76971852 años

Es demasiado tiempo pero sería posible. Como anexo agrego el tiempo que ocurriría dentro de la nave espacial ya que la relatividad de Einstein nos dice que cuanto más cerca nos acerquemos a la luz, el tiempo se hace más lento, el tiempo deja de transcurrir a la misma rapidez que en la tierra.

Definimos entonces: dt = tiempo del observador o sea de las personas que se quedarían en la tierra esperando el viaje de la nave espacial y dt0 el tiempo dentro de la nave. Donde v será la velocidad de la nave en a = 0.

(ec.1)

Sustituyendo y despejando dt0 y resolviendo tenemos:

dt0 = 216170230,8 seg

Ahora a = 9,81 m/s²

Por movimiento rectilíneo uniforme acelerado a = dv/dt

Entonces resolviendo v = v0 + a.t y sustituyendo en v resolvemos ec.1:

dt0 = 13241978,65 seg

Multiplicando el primero por 2 y el segundo por 4 y sumándolos tenemos que el viaje dentro de la nave es de:

96201962,2 = 15,38902766 años.

Algo considerable para un viaje de tal magnitud, pero si viajáramos todavía más rápido hasta 0,9 de la velocidad de la luz solo nos tardaríamos 10,6 años en el viaje, desde el punto del observador en la tierra, pero dentro de ella seria unos 2,8 años, algo muy considerable para el viaje.

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