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Sistema de mallas

Contenido: Métodos de resolución de circuitos. Sistema de mallas. Medición de tensiones en C.C. Ejercicios resueltos.

Métodos de resolución de circuitos de corriente

Sistema de mallas

Ejemplo 8: determinar las incógnitas de todo el circuito.

V1 = 20 V
V4 = 20 V

V2 = 30 V
R par = 10Ω

V3 = 10 V
R impar = 5 Ω

(1) V1- V2 = I1.(R1 + R2 + R5) - I2.R5 - I3. 0

(2) V3 = I2.(R4 + R5 + R3) - I1.R5 - I3.R3

(3) V2- V4 = -I1.0 - I2.R3 + I3.(R3 + R6)

Reemplazando:

(1) 20 V - 30 V = I1.(10 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - I2.10 Ω- I3.0

(2) 10 V = I2.(5 Ω + 10 Ω + 10 Ω) - I1.10 Ω- I3.10 Ω

(3) 30 V - 20 V = -I1.0 - I2.10 Ω + I3.(10 Ω + 5 Ω)

(1) -10 V = I1.25 Ω- I2.10 Ω- I3.0

(2) 10 V = -I1.10 Ω + I2.25 Ω- I3.10 Ω

(3) 10 V = -I1.0 - I2.10 Ω + I3.15 Ω

1) Determinante de todas las incógnitas = Δ

Δ=

25Ω
-10Ω

-10 Ω
25 Ω
-10 Ω

0 Ω
-10 Ω
15 Ω

⇒ Δ= (9.375 + 0 + 0) Ω³ - (0 + 1.500 + 2.500) Ω³⇒ Δ= 5.375 Ω³

2) Determinante de I1 = Δ1

Δ1 =

-10 V
10 V
10 V

-10 Ω
25 Ω
-10 Ω

0 Ω
-10 Ω
15 Ω

⇒ Δ1 = (-3.750 + 1.000 + 0) VΩ² - (0 - 1.000 - 1.500) VΩ² ⇒ Δ1 = -250 VΩ²

3) Determinante de I2 = Δ2

Δ2 =

25 Ω
-10 Ω
0 Ω

-10 V

10 V
10 V

0 Ω
-10 Ω
15 Ω

⇒ Δ2 = (3.750 + 0 + 0) VΩ² - (0 - 2.500 + 1.500) VΩ² ⇒ Δ2 = 4.750 VΩ²

4) Determinante de I3 = Δ3

Δ3 =

25 Ω
-10 Ω
0 Ω

-10 Ω
25 Ω
-10 Ω

-10 V
10 V
10 V

⇒ Δ3 = (6.250 - 1.000 + 0) VΩ² -(0 + 1.000 - 2.500) VΩ² ⇒ Δ3 = 6.750 VΩ²

Luego:

I1 = Δ1/Δ ⇒ I1 = -250 VΩ²/5.375 Ω³ ⇒ I1 = -0,047 A

I2 = Δ2/Δ ⇒ I2 = 4.750 VΩ²/5.375 Ω³ ⇒ I2 = 0,884 A

I3 = Δ3/Δ ⇒ I3 = 6.750 VΩ²/5.375 Ω³ ⇒ I3 = 1,256 A

A I1 se le invierte el sentido por ser negativo.

i1 = I1 = 0,047 A
i3 = I2 = 0,884 A
i4 = I3 = 1,256 A

i6 = I3 - I2 = 0,372 A
i5 = I1 + I2 = 0,931 A
i2 = I3 + I1 = 1,303 A

Para verificar se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff

1) Se estudia una malla (1° ley)

2) Se estudia un nodo (2° ley)

Otro método consiste en comparar la potencia de los elementos activos contra la potencia de los elementos pasivos.

P2 = V2.I2 = 30 V. 1,303 A = 39,09 W

P3 = V3.I3 = 10 V. 0,884 A = 8,84 W

P4 = V4.I4 = 20 V. 1,256 A = 25,12 W

P1 = V1.I1 = 20 V. 0,047 A = 0,94 W

Potencia de elementos activos = 47,93 W

PR12 = (R2 + R1).i1² = 15 Ω.(0,047 A)² = 0,0331 W

PR4 = R4.i3² = 5 Ω.(0,884 A)² = 3,9073 W

PR6 = R6.i4² = 5 Ω.(1,256 A)² = 7,8877 W

PR5 = R5.i5² = 10 Ω.(0,931 A)² = 8,6676 W

PR3 = R3.i6² = 10 Ω.(0,372 A)² = 1,3838 W

Potencia de elementos pasivos = 47,94 W

 

Potencia de elementos activos
Potencia de elementos pasivos

= 47,93 W
= -47,94 W
≈0 W

Medición de tensiones en C.C

También se puede medir corriente alterna mediante rectificación previa

Bobina móvil / imán permanente

CM = F.d

CM: Cupla Motríz

F: Fuerza

d: Ancho de la espira

Pero: F = Φ.h.i

CM = Φ.d.h.i

CM = k.i (1)

CR = θ.U (2)

CR: Cupla del Resorte

θ: Angulo

U: Constante del resorte (en física I era k)

En el equilibrio debe ser:

CM = CR

k.i = θ.U

θ = k.i/U

Comercialmente se obtienen instrumentos con las siguientes características:

Resistencia de la bobina:
Corriente máxima en la bobina:

RB = 2 a 20Ω
iM = 0,1 a 10 mA

Para el amperímetro:

iB.RB = i.RS

I = iB + i ⇒ i = I - iB

iB.RB = (I - iB).RS ⇒iB.RB = I.RS - iB.RS ⇒iB.RB + iB.RS = I.RS

iB.(RB + RS) = I.RS ⇒I/ iB = (RB + RS)/ RS

I/ iB = m ⇒Poder de multiplicación shunt.

RB + RS = m.RS ⇒RB = RS.(m - 1)

RS = RB/(m - 1)

Ejemplo 9: Para I1 = 1 A

m1 = 1 A/0,01 A ⇒ m1 = 100

RS1 = 10 Ω/(100 - 1) ⇒RS1 = 10 Ω/99 ⇒ RS1 = 0,1 Ω

Ejemplo 10: Para calcular 2 rangos más: I2 = 10 A e I3 = 100 A

m2 = 10 A/0,01 A ⇒ m2 = 1.000

RS2 = 10 Ω/(1.000 - 1) ⇒RS2 = 10 Ω/999 ⇒ RS2 = 0,01 Ω

m3 = 100 A/0,01 A ⇒ m3 = 10.000

RS3 = 10 Ω/(10.000 - 1) ⇒RS3 = 10 Ω/9.999 ⇒ RS3 = 0,001 Ω

Las resistencias internas equivalentes del amperímetro es muy muy muy pequeña.

El amperímetro se conecta en serie.

Para el voltímetro:

V = (RB + Rm).iB

iB = VB/RB

V = (RB + Rm).VB/RB

m = V/VB Poder multiplicador shunt

m = (RB + Rm)/RB

RB + Rm = m.RB

Rm = RB.(m - 1)

Ejemplo 10: Para calcular un voltímetro de 4 rangos, V1 = 100 V, V2 = 200 V,
V3 = 500 V y V4 = 1000 V.

m1 = 100 V/0,1 V ⇒m1 = 1.000

Rm1 = 10 Ω.(1.000 - 1) ⇒Rm1 = 10 Ω.999 ⇒ Rm1 = 9.990 Ω

m2 = 200 V/0,1 V ⇒ m2 = 2.000

Rm2 = 10 Ω.(2.000 - 1) - Rm1 ⇒Rm2 = 10 Ω.1.999 - 9.990 Ω

Rm2 = 19.999 Ω- 9.990 Ω ⇒ Rm2 = 10.000 Ω

m3 = 500 V/0,1 V ⇒ m3 = 5.000

Rm3 = 10 Ω.(5.000 - 1) - Rm1 - Rm2

Rm3 = 10 Ω.4.999 - 10.000 Ω- 9.990 Ω

Rm3 = 49.990 Ω- 19.990 Ω

Rm3 = 30.000 Ω

m4 = 1.000 V/0,1 V ⇒ m4 = 10.000

Rm4 = 10 Ω.(10.000 - 1) - Rm1 - Rm2 - Rm3

Rm4 = 10 Ω.9.999 - 10.000 Ω- 9.990 Ω- 30.000 Ω

Rm4 = 99.990 Ω- 49.990 Ω ⇒ Rm4 = 50.000 Ω

Las resistencias internas equivalentes del voltímetro son muy grandes. El voltímetro se conecta en paralelo.

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