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Sistema de mallas. AP02

Contenido: Métodos de resolución de circuitos. Sistema de mallas. Medición de tensiones en C.C. Ejercicios resueltos. ¿Qué es una corriente de malla?

Métodos de resolución de circuitos de corriente

Sistema de mallas


Esquema del circuito para resolver por el método de mallas

Ejemplo 8: determinar las incógnitas de todo el circuito.

V1 = 20 V
V4 = 20 V

V2 = 30 V
Rpar = 10Ω

V3 = 10 V
Rimpar = 5 Ω

(1) V1- V2 = I1·(R1 + R2 + R5) - I2·R5 - I3·0

(2) V3 = I2·(R4 + R5 + R3) - I1·R5 - I3·R3

(3) V2- V4 = -I1·0 - I2·R3 + I3·(R3 + R6)

Reemplazando:

(1) 20 V - 30 V = I1·(10 Ω + 5 Ω + 10 Ω) - I2·10 Ω- I3·0

(2) 10 V = I2·(5 Ω + 10 Ω + 10 Ω) - I1·10 Ω- I3·10 Ω

(3) 30 V - 20 V = -I1·0 - I2·10 Ω + I3·(10 Ω + 5 Ω)

(1) -10 V = I1·25 Ω- I2·10 Ω - I3·0

(2) 10 V = -I1·10 Ω + I2·25 Ω - I3·10 Ω

(3) 10 V = -I1·0 - I2·10 Ω + I3·15 Ω

1) Determinante de todas las incógnitas = Δ

Δ=

25Ω
-10Ω

-10 Ω
25 Ω
-10 Ω

0 Ω
-10 Ω
15 Ω

⇒ Δ = (9.375 + 0 + 0) Ω³ - (0 + 1.500 + 2.500) Ω³ ⇒ Δ = 5.375 Ω³

2) Determinante de I1 = Δ1

Δ1 =

-10 V
10 V
10 V

-10 Ω
25 Ω
-10 Ω

0 Ω
-10 Ω
15 Ω

⇒ Δ1 = (-3.750 + 1.000 + 0) VΩ² - (0 - 1.000 - 1.500) VΩ² ⇒ Δ1 = -250 VΩ²

3) Determinante de I2 = Δ2

Δ2 =

25 Ω
-10 Ω
0 Ω

-10 V

10 V
10 V

0 Ω
-10 Ω
15 Ω

⇒ Δ2 = (3.750 + 0 + 0) VΩ² - (0 - 2.500 + 1.500) VΩ² ⇒ Δ2 = 4.750 VΩ²

4) Determinante de I3 = Δ3

Δ3 =

25 Ω
-10 Ω
0 Ω

-10 Ω
25 Ω
-10 Ω

-10 V
10 V
10 V

⇒ Δ3 = (6.250 - 1.000 + 0) VΩ² -(0 + 1.000 - 2.500) VΩ² ⇒ Δ3 = 6.750 VΩ²

Luego:

I1 = Δ1/Δ ⇒ I1 = -250 VΩ²/5.375 Ω³ ⇒ I1 = -0,047 A

I2 = Δ2/Δ ⇒ I2 = 4.750 VΩ²/5.375 Ω³ ⇒ I2 = 0,884 A

I3 = Δ3/Δ ⇒ I3 = 6.750 VΩ²/5.375 Ω³ ⇒ I3 = 1,256 A

A I1 se le invierte el sentido por ser negativo.

i1 = I1 = 0,047 A
i3 = I2 = 0,884 A
i4 = I3 = 1,256 A

i6 = I3 - I2 = 0,372 A
i5 = I1 + I2 = 0,931 A
i2 = I3 + I1 = 1,303 A

Para verificar se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff

1) Se estudia una malla (1° ley)

2) Se estudia un nodo (2° ley)

Otro método consiste en comparar la potencia de los elementos activos contra la potencia de los elementos pasivos.

P2 = V2·I2 = 30 V·1,303 A = 39,09 W

P3 = V3·I3 = 10 V·0,884 A = 8,84 W

P4 = V4·I4 = 20 V·1,256 A = 25,12 W

P1 = V1·I1 = 20 V·0,047 A = 0,94 W

Potencia de elementos activos = 47,93 W

PR12 = (R2 + R1)·i1² = 15 Ω·(0,047 A)² = 0,0331 W

PR4 = R4·i3² = 5 Ω·(0,884 A)² = 3,9073 W

PR6 = R6·i4² = 5 Ω·(1,256 A)² = 7,8877 W

PR5 = R5·i5² = 10 Ω·(0,931 A)² = 8,6676 W

PR3 = R3·i6² = 10 Ω·(0,372 A)² = 1,3838 W

Potencia de elementos pasivos = 47,94 W

 

Potencia de elementos activos
Potencia de elementos pasivos

= 47,93 W
= -47,94 W
≈0 W

Medición de tensiones en corriente contínua

También se puede medir corriente alterna mediante rectificación previa

Bobina móvil/imán permanente


Esquema básico para medir tensión


Diagrama del circuito, el campo eléctrico, las fuerzas y los momentos

CM = F·d

CM: Cupla Motríz

F: Fuerza

d: Ancho de la espira

Pero: F = Φ·h·i

CM = Φ·d·h·i

CM = k·i (1)

CR = θ·U (2)

CR: Cupla del resorte

θ: Angulo

U: Constante del resorte (en física I era k, ver apunte "Fuerza elástica")

En el equilibrio debe ser:

CM = CR

k·i = θ·U

θ = k·i/U

Comercialmente se obtienen instrumentos con las siguientes características:

Resistencia de la bobina:
Corriente máxima en la bobina:

RB = 2 a 20 Ω
iM = 0,1 a 10 mA

Para el amperímetro:


Esquema básico para medir corriente

iB·RB = i·RS

I = iB + i ⇒ i = I - iB

iB·RB = (I - iB)·RS ⇒ iB·RB = I·RS - iB·RS ⇒ iB·RB + iB·RS = I·RS

iB·(RB + RS) = I·RS ⇒ I/iB = (RB + RS)/RS

I/iB = m ⇒ Poder de multiplicación shunt.

RB + RS = m·RS ⇒ RB = RS·(m - 1)

RS = RB/(m - 1)

Ejemplo n° 9: Para I1 = 1 A


Diagrama de un circuito para medir corriente

m1 = 1 A/0,01 A ⇒ m1 = 100

RS1 = 10 Ω/(100 - 1) ⇒ RS1 = 10 Ω/99 ⇒ RS1 = 0,1 Ω

Ejemplo n° 10: Para calcular 2 rangos más: I2 = 10 A e I3 = 100 A

m2 = 10 A/0,01 A ⇒ m2 = 1.000

RS2 = 10 Ω/(1.000 - 1) ⇒ RS2 = 10 Ω/999 ⇒ RS2 = 0,01 Ω

m3 = 100 A/0,01 A ⇒ m3 = 10.000

RS3 = 10 Ω/(10.000 - 1) ⇒ RS3 = 10 Ω/9.999 ⇒ RS3 = 0,001 Ω

Las resistencias internas equivalentes del amperímetro es muy muy muy pequeña.


Diagrama de un circuito para medir corriente

El amperímetro se conecta en serie.

Para el voltímetro:


Esquema básico para medir tensión

V = (RB + Rm)·iB

iB = VB/RB

V = (RB + Rm)·VB/RB

m = V/VB Poder multiplicador shunt

m = (RB + Rm)/RB

RB + Rm = m·RB

Rm = RB·(m - 1)

Ejemplo n° 11: Para calcular un voltímetro de 4 rangos, V1 = 100 V, V2 = 200 V,
V3 = 500 V y V4 = 1000 V.

m1 = 100 V/0,1 V ⇒ m1 = 1.000

Rm1 = 10 Ω·(1.000 - 1) ⇒ Rm1 = 10 Ω·999 ⇒ Rm1 = 9.990 Ω

m2 = 200 V/0,1 V ⇒ m2 = 2.000


Diagrama de un circuito para medir tensión

Rm2 = 10 Ω·(2.000 - 1) - Rm1 ⇒ Rm2 = 10 Ω·1.999 - 9.990 Ω

Rm2 = 19.999 Ω - 9.990 Ω ⇒ Rm2 = 10.000 Ω

m3 = 500 V/0,1 V ⇒ m3 = 5.000

Rm3 = 10 Ω·(5.000 - 1) - Rm1 - Rm2

Rm3 = 10 Ω·4.999 - 10.000 Ω - 9.990 Ω

Rm3 = 49.990 Ω - 19.990 Ω

Rm3 = 30.000 Ω

m4 = 1.000 V/0,1 V ⇒ m4 = 10.000

Rm4 = 10 Ω·(10.000 - 1) - Rm1 - Rm2 - Rm3

Rm4 = 10 Ω·9.999 - 10.000 Ω- 9.990 Ω- 30.000 Ω

Rm4 = 99.990 Ω- 49.990 Ω ⇒ Rm4 = 50.000 Ω


Diagrama de un circuito para medir tensión

Las resistencias internas equivalentes del voltímetro son muy grandes. El voltímetro se conecta en paralelo.

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