Problema n° 4 de dilatación - TP02
Enunciado del ejercicio n° 4
Un cubo de hierro (α = 0,000012/°C) lleno de mercurio (γ = 0,000182/°C) es calentado de 20 °C a 70 °C. Si se derraman 2,7 cm³ de mercurio, ¿cuál es el volumen del cubo?
Desarrollo
Datos:
t1 = 20 °C
t2 = 70 °C
V = 2,7 cm³ (volumen excedente de mercurio)
α = 0,000012/°C
γ = 0,000182/°C
Fórmulas:
ΔVc = 3·α·V1c·Δt° (dilatación volumétrica del cubo de hierro)
ΔVm = γ·V1m·Δt° (dilatación volumétrica del mercurio)
Solución
Se asume que con 20 °C el volumen de mercurio se encuentra enrasado con el borde del recipiente de hierro, es decir el mismo volumen inicial para ambos:
V1m = V1c = V1
Y:
V2m - V2c = 2,7 cm³ (1)
Entonces:
ΔVm = γ·V1m·Δt°
V2m - V1m = γ·V1m·Δt°
V2m - V1 = γ·V1·Δt°
ΔVc = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V1c = 3·α·V1c·Δt°
V2c - V1 = 3·α·V1·Δt°
Despejamos V1 en ambas ecuaciones:
V2m - V1 = γ·V1·Δt°
V2m = γ·V1·Δt° + V1
V2m = (γ·Δt° + 1)·V1
V2m/(γ·Δt° + 1) = V1 (3)
V2c - V1 = 3·α·V1·Δt°
V2c = 3·α·V1·Δt° + V1
V2c = (3·α·Δt° + 1)·V1
V2c/(3·α·Δt° + 1) = V1 (4)
Igualamos las ecuaciones (3) y (4):
| V2m | = | V2c |
| γ·Δt° + 1 | 3·α·Δt° + 1 |
V2m·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)
De la ecuación (1) despejamos V2m:
V2m = V2c + 2,7 cm³
Reemplazamos V2m en la ecuación (2):
(V2c + 2,7 cm³)·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1) (2)
A continuación despejamos V2c:
V2c·(3·α·Δt° + 1) + 2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1) = V2c·(γ·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° + 1) - V2c·(γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·[(3·α·Δt° + 1) - (γ·Δt° + 1)] = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° + 1 - γ·Δt° + 1) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α·Δt° - γ·Δt°) = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
V2c·(3·α - γ)·Δt° = -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1)
| V2c = | -2,7 cm³·(3·α·Δt° + 1) |
| (3·α - γ)·Δt° |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| V2c = | -2,7 cm³·[3·0,000012/°C·(70 °C - 20 °C) + 1] |
| (3·0,000012/°C - 0,000182/°C)·(70 °C - 20 °C) |
| V2c = | -2,7 cm³·(0,000036/°C·50 °C + 1) |
| (0,000036/°C - 0,000182/°C)·50 °C |
| V2c = | -2,7 cm³·(0,0018 + 1) |
| -0,000146/°C·50 °C |
| V2c = | 2,7 cm³·1,0018 |
| 0,0073 |
| V2c = | 2,70486 cm³ |
| 0,0073 |
V2c = 370,529 cm³
Hallamos el volumen final del cubo de hierro. Ahora calcularemos el volumen inicial del cubo de hierro con la ecuación (3):
| V1 = | V2c |
| 3·α·Δt° + 1 |
| V1 = | 370,529 cm³ |
| 3·0,000012/°C·(70 °C - 20 °C) + 1 |
| V1 = | 370,529 cm³ |
| 0,000036/°C·50 °C + 1 |
| V1 = | 370,529 cm³ |
| 0,0018 + 1 |
| V1 = | 370,529 cm³ |
| 1,0018 |
Resultado, el volumen del cubo de hierro es:
V1 = 369,863 cm³
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular el coeficiente de dilatación volumétrico. ¿Cuánto aumenta el volumen del mercurio al calentarlo?