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Derivada primera. Recta tangente. AP01

Contenido: Recta tangente a una curva en un punto. Derivada primera de una función. ¿Qué representa la pendiente de una curva? ¿Qué es la recta tangente a una curva en un punto?

Recta tangente a una curva en un punto


Gráfica de la curva, la recta tangente a la curva y su pendiente

m = Δy/Δx ⇒ m = tg α

y2´ = f´(x)

pero y2´ en a:

tg α = f´(a) ⇒ m = f´(a)

por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a, es:

y1 = f´(a)·x + b

Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva.

1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente.

a- derivar la función de la curva.

y2´ = f´(x)

b- reemplazar en la derivada x por el valor a.

y2´ = f´(a)

c- el resultado es la pendiente m.

m = f´(a)

d- armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.

y1 = m·(x - a) + ya

2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva.

a- se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.

y1 = y2 ⇒ m·x + b = f(x)

b- despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a.

c- con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya.

d- el punto de intersección será:

P(a; ya)

e- derivar la función de la curva.

y2´ = f´(x)

f- reemplazar en la derivada x por el valor a.

y2´ = f´(a)

g- verificar que f´(a) sea igual a m.

y2´ = m

3) Dada una recta cualquiera (y = m3·x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva.

a- La pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).

m3 = m1

b- además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.

m3 = f´(a) ⇒ m3 = f´(x)

c- despejar el x = a.

d- con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya.

e- el punto de intersección será:

P(a; ya)

f- armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.

y1 = m3·(x - a) + ya

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