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Derivada primera. Recta tangente. AP01

Contenido: Recta tangente a una curva en un punto. Derivada primera de una función. ¿Qué representa la pendiente de una curva? ¿Qué es la recta tangente a una curva en un punto?

Recta tangente a una curva en un punto


Gráfica de la curva, la recta tangente a la curva y su pendiente

m = Δy/Δx ⇒ m = tg α

y2´ = f´(x)

pero y2´ en a:

tg α = f´(a) ⇒ m = f´(a)

por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a, es:

y1 = f´(a)·x + b

Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva.

  1. Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente.
    1. derivar la función de la curva.
      y2´ = f´(x)
    2. reemplazar en la derivada x por el valor a.
      y2´ = f´(a)
    3. el resultado es la pendiente m.
      m = f´(a)
    4. armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.
      y1 = m·(x - a) + ya
  2. Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva.
    1. se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.
      y1 = y2 ⇒ m·x + b = f(x)
    2. despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a.
    3. con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya.
    4. el punto de intersección será:
      P(a; ya)
    5. derivar la función de la curva.
      y2´ = f´(x)
    6. reemplazar en la derivada x por el valor a.
      y2´ = f´(a)
    7. verificar que f´(a) sea igual a m.
      y2´ = m
  3. Dada una recta cualquiera (y = m3·x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva.
    1. La pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).
      m3 = m1
    2. además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.
      m3 = f´(a) ⇒ m3 = f´(x)
    3. despejar el x = a.
    4. con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya.
    5. el punto de intersección será:
      P(a; ya)
    6. armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.
      y1 = m3·(x - a) + ya

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