Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.

 

Diferenciales. AP01

Contenido: Diferenciabilidad. Idea intuitiva. Definición. Notación.

Diferenciabilidad


Gráfica para interpretar la diferencial de una función

Idea intuitiva: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables. La idea básica consiste en coger un vector v y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

Definición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U, y v ∈ ℜn, v ≠ 0. Entonces llamamos derivada de f según el vector v a:

D v f(a) = Límite cuando t tiende a cero [f(a + t v) - f(a)]/t

Observación: Si y ≠ 0, entonces:

Dλ v f(a) = λ·Dv f(a)

Demostración:

Dλ v f(a) = Límite cuando t tiende a cero [[f(a + λ·t v) - f(a)]/t]·(λ/λ) = λ·Límite cuando t tiende a cero [f(a + h v) - f(a)]/t = λ·D v f(a)

Notación: Sea x ∈ ℜn. Entonces definimos la norma de x cómo:

Módulo de la norma de x

Definición: Llamaremos derivada direccional de f según una dirección definida por v a la derivada según el vector: u = v/|| v||

Ejemplo:

f(x,y) =

x·y²/(x² + y4)

(x,y) ≠ (0,0)

0

(x,y) = (0,0)

D v f(0) = Límite cuando t tiende a cero [f(0 + t v) - f(0)]/t =

Derivada direccional

D v f(0) =

sen² θ/cos θ

cos θ ≠ (0,0)

0

cos θ = (0,0)

Existen todas las derivadas direccionales de f, pero f no es contínua en (0,0)

Si hacemos x = m·y²

Discontinuidad

Luego el límite no existe y la función no es contínua.

Observación: Si f = (f1, …, fm): ℜn → ℜm, entonces:

D v f(a) = (D v f1(a), …, D v fm(a))

Definición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U. Entonces llamamos derivada parcial respecto de xi, i = 1, …, m a la derivada direccional de f según el vector e de la base canónica de ℜm. Lo representamos de la siguiente manera:

De, f = ∂ f/∂xi

Ejemplo:

ƒ(x,y) = x·ex² + y²

∂ƒ/∂x = (1 - 2·x²)·ex² + y²

∂ƒ/∂y = 2·x·y·ex² + y²

Definición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, U abierto. Entonces se dice que f es diferenciable en a ∈ U si existe una aplicación lineal D f(a): U ⊂ ℜn → ℜm, que llamaremos diferencial de f en a, tal que:

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar f(a+ h) = f(a) + [D f(a)](h), sea una "o pequeña" de h, de tal manera que tiende más rápidamente a 0 que h. Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

Observación: Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

Ejemplo:

f(x,y) = (x² + y²)½

¿Existe Df(O)
M(Df,Bc) = A = (α, β)

h= (h, k)
Función no diferenciable
Acercándonos por h = 0:

Función no diferenciable

Y por k = 0

Función no diferenciable

Luego la función no es diferenciable.

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/diferenciales/ap01_diferenciales.php

¡Gracias!

Copyright © 2000-2028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/diferenciales/ap01_diferenciales.php