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Diferenciales. AP02

Contenido: Interpretación geométrica de la diferencial. Gradiente ¿Qué es el gradiente y qué representa?

Diferenciales

Idea intuitiva: Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n = 2.

Sea x = (x,y) (pequeño), y f diferenciable en a = (a,b), [Df(a)](x) = α·x + β·y para ciertos α y β ∈ ℜ. Entonces:

f(a+ x) = f(a) + α·x + β·y + o(|| x||)

Puedo hacer f(a+ x) igual a la función en a más el plano en un punto (x,y) tangente en a, más un error pequeño.

Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie z = f(x,y) en el punto (a, b, f(a)) al plano z = α·x + β·y

Propiedades:

  1. Si f: ℜn → ℜm es diferenciable en a, entonces la diferencial es única.
  2. f = (f1, …, fm): ℜn → ℜm es diferenciable en asi y solo si fi es diferenciable en a i = 1, …, m. Además la diferencial es:
    D f(a) = (D1 f(a), …, Dm f(a))
  3. Si f, g: ℜn → ℜm son diferenciadles en a, entonces λ·f, λ ∈ ℜ, f ± g, f·g, (m = 1) son diferenciadles en a, y se verifica:
  1. D(λ f)·(a) = λ D f(a)
  2. D(f ± g)·(a) = D f(a) ± D g(a)
  3. D(f. g)·(a) = D f(a). g(a) + f(a)·D g(a)

Proposición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm. Si f es diferenciable en a ∈ U, entonces existe D v f(a), ∀ v ≠ 0, y además Dv f(a) = [D f(a)](v)

Demostración:

Derivada direccional

Observación: Sea f: ℜn → ℜ, y h = hi e. Entonces:

Derivada direccional

Definición: Sea f: ℜn → ℜ. Entonces llamamos vector gradiente de f en a a:

Observación:

  1. Si f es diferenciable en a, entonces Dv f(a) = [D f(a)](v) = ∇ f(a) v
  2. ∇. v = ||∇f||·|| v||·cos α = (Si ves unitario) = ||∇f||·cos α. Dicha expresión es máxima cuando v tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que el vector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función.

Proposición: Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable.

Ejemplo:

f(x,y) =

x·y²/(x² + y4)

(x,y) ≠ (0,0)

0

(x,y) = (0,0)

Está función es derivable direccionalmente, pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por la definición:

Función no diferenciable

Luego si f fuera diferenciable, su diferencial sería cero

Función no diferenciable
Luego la función no es diferenciable.

Definición: Sea f: ℜn → ℜm diferenciable en a. Entonces a la matriz asociada a la aplicación D f(a) en las bases canónicas de ℜn y ℜm se le llama matriz jacobiana de f en a, y se denota J f(a)

Observación: Estudiemos como es la matriz. Si f = (f1, …, fm), tomamos e1 ∈ ℜn. Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:

Matriz jacobiana
Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación:

Sea A = [0, +∞]x(0, 2·π] ⊂ ℜ² y g(r, θ) = (r, cos θ, r·sen θ))

Diferenciales

Proposición: Si f: U ⊂ ℜn → ℜm es diferenciable en a, entonces es contínua en a

Demostración: La haremos para f: ℜn → ℜ

Hay que demostrar que:

Diferenciales

Como f es diferenciable en a

f(a + h) - f(a) = [Df(a)](h) + o(|| h||)

Diferenciales

Definición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, U abierto. Decimos que fes de clase C¹ en a ∈ U si todas las derivadas parciales de f están definidas en un entorno de a y además son continuas en a.

Por consiguiente f es de clase C¹ en U si lo es en todos los puntos de U

Teorema: Si f: U ⊂ ℜn → ℜm es de clase C¹ en a, entonces es diferenciable en a

Observación: En general, el recíproco no es cierto.

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