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Diferenciales. AP-02

Contenido: Interpretación geométrica de la diferencial. Gradiente

DIFERENCIALES

IDEA INTUITIVA: Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n = 2.

Sea x = (x, y) (pequeño), y f diferenciable en a= (a, b), [Df(a)](x) = α .x + β .y para ciertos α yβ ∈ R. Entonces:

f(a+ x) = f(a) + α .x + β .y + o(|| x||)

Puedo hacer f(a+ x) igual a la función en amás el plano en un punto (x, y) tangente en a, más un error pequeño.

Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a)) al plano z = α .x + β .y

PROPIEDADES:

1) Si f: ℜn → ℜm es diferenciable en a, entonces la diferencial es única.

2) f = (f1,...,fm): ℜn → ℜm es diferenciable en asi y solo si fi es diferenciable en ai = 1,...,m. Además la diferencial es:

D f(a) = (D1 f(a),...,Dm f(a))

3) Si f, g: ℜn → ℜm son diferenciadles en a, entonces λ . f, λ ∈ R, f ± g, f.g,(m = 1) son diferenciadles en a, y se verifica:

a) D(λ f)(a) = λ D f(a)

b) D(f ± g)(a) = D f(a) ± D g(a)

c) D(f. g)(a) = D f(a). g(a) + f(a).D g(a)

PROPOSICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm. Si f es diferenciable en a∈ U , entonces existe D v f(a), ∀ v ≠ 0, y además D v f(a) = [D f(a)](v)

Demostración:

DIFERENCIALES

OBSERVACION: Sea f:ℜn → R, y h= hi e. Entonces:

DIFERENCIALES

DEFINICION: Sea f:ℜn → R. Entonces llamamos VECTOR GRADIENTE de f en aa:

OBSERVACION:

1) Si f es diferenciable en a, entonces D v f(a) = [D f(a)](v) = ∇ f(a) v

2) ∇. v = ||∇f||.|| v||.cos α = (Si ves unitario) = ||∇f||.cos α . Dicha expresión es máxima cuando v tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que el vector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función.

PROPOSICION: Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable.

Ejemplo:

f(x,y) =

x.y²/(x² + y4)

(x,y) ≠ (0,0)

0

(x,y) = (0,0)

Está función es derivable direccionalmente,pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por la definición:

DIFERENCIALES

Luego si f fuera diferenciable, su diferencial sería cero

DIFERENCIALES
Luego la función no es diferenciable.

DEFINICION: Sea f: ℜn → ℜm diferenciable en a. Entonces a la matriz asociada a la aplicación D f(a) en las bases canónicas de ℜn y ℜm se le llama MATRIZ JACOBIANA de f en a, y se denota J f(a)

OBSERVACION: Estudiemos como es la matriz. Si f = (f1,...,fm), tomamos e1 ∈ ℜn . Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:

DIFERENCIALES
Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación:

Sea A = [0, +∞]x(0, 2.π ] ⊂ ℜ² y g(r, θ) = (r,cos θ, r.sen θ))

DIFERENCIALES

PROPOSICION: Si f: U ⊂ ℜn → ℜm es diferenciable en a, entonces es continua en a

Demostración: La haremos para f:ℜn → ℜ

Hay que demostrar que:

DIFERENCIALES

Como f es diferenciable en a

f(a + h) - f(a) = [Df(a)](h) + o(|| h||)

DIFERENCIALES

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm , U abierto. Decimos que fes de clase C¹ en a∈ U si todas las derivadas parciales de f están definidas en un entorno de a y además son continuas en a.

Por consiguiente f es de clase C¹ en U si lo es en todos los puntos de U

TEOREMA: Si f: U ⊂ ℜn → ℜm es de clase C¹ en a, entonces es diferenciable en a

OBSERVACION: En general, el recíproco no es cierto.

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