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Diferenciales. AP03

Contenido: Regla de la cadena. Teorema de Schwarz. Polinomio de Taylor. Orden de la derivada.

Diferenciales

Teorema (Regla de la cadena): Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm, y g: V ⊂ ℜm → ℜp, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en a ∈ ℜn y g es diferenciable en f(a), entonces go f es diferenciable, y además:

D(g o f) = D g(f(a))·D f(a)

Observación: Por tanto J(g o f)·(a) = J g(f(a))·J f(a)

Ejemplo:

f(u,v) = (eu + v, eu - v): ℜ² → ℜ²

g(x,y) = x·cos y : ℜ² → ℜ
g o f(u,v) = g(f(u,v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v·cos eu - v

Definición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de a ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.

Notación: Diferenciales. Además, para simplificar:

fx = ∂ f/∂x

fxy = ∂ f/∂x∂y

Ejemplo:

f(x,y) = x·sen y

∂f/∂x = sen y

∂f/∂y = x·cos y

Diferenciales

Teorema (Schwarz): Sea f: U ⊂ ℜ² → ℜ, U abierto, y a ∈ U. Si existen fx, fy, fxy en un entorno de a y
fxy es contínua en a, entonces existe fxy(a) y además: fyx(a) = fxy(a). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

Definición: Decimos que una función es de clase Cm en a ∈ ℜn si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en a. Análogamente decimos que una función es de clase Cm en A ⊂ ℜn si lo es en todos los puntos de A.

Definición: Si f es de clase C² en a, llamamos diferencial segunda de f en a a:

Diferencial segunda

Observación:

  1. la diferencial segunda es una forma bilineal.
  2. la diferencial segunda se puede representar matricialmente:

A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de f.

Por ser f de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:

Diferencial segunda

En general:

Diferencial segunda

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo: n = 2

Diferencial segunda

Definición: Si f es de clase Cm en a, llamamos diferencial de orden m en a a:

Diferencial de orden m

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en a como un binomio a la m.

Definición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y f de clase Cm en a. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de f en a como:

Polinomio de Taylor

y el resto de Taylor de orden m como:

m (f, a)·(x) = f(x) - Tm (f, a)·(x)

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