Diferenciales: Funcion diferencial total.
Función diferencial total
d(f(x, y)) = (∂f/∂x)·dx + (∂f/∂y)·dy
Ecuación del plano tangente a la gráfica f(x, y) en el punto (x0, y0, f(x0, y0)):
z = f(x0, y0) + (∂f/∂x)·(x - x0) + (∂f/∂y)·(y - y0)
Incremento de altura del plano tangente:
d(f(x0, y0))
Derivadas direccionales:
Du f(X) = ∇f(X)·u
Du f(x, y) = (∂f/∂x)·cos x·u + (∂f/∂y)·cos y·u
Vector dirección u:
u = (u1, u2)
u1 = cos x·u
u2 = cos y·u
u = V/|V|
Máxima derivada direccional:
∇f(X0, Y0)·∇f(X0, Y0)/|∇f(X0, Y0)|
Máxima velocidad de crecimiento de la función:
|∇f(X0, Y0)|
Dirección de máxima velocidad de la función:
∇f(X0, Y0)
Significado geométrico del gradiente:
El gradiente de una función f(X) = f(x, y, z), diferenciable en un abierto U de ℜ³, en un punto ordinario X0, es un vector que, pensándolo aplicado en X0, resulta normal a la superficie de nivel de la f(X) que pasa por X0, o sea, a la superficie f(X) = f(X0).
Recta normal a una superficie f(x, y) en X0:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t·∇f(x0, y0, z0)
Derivadas parciales de funciones implícitas:
| ∂f | ∂f | |||||
| ∂z | = - | ∂x | ∧ | ∂z | = - | ∂y |
| ∂x | ∂f | ∂y | ∂f | |||
| ∂z | ∂z | |||||
Longitud de una curva:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
En paramétricas:
| s = ∫ | b | √[r(θ)]² + [r'(θ)]²·dθ |
| a |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Qué es el gradiente y qué representa?