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Diferenciales. AP05

Contenido: Funcion diferencial total. Ecuación del plano tangente. Derivadas direccionales. Derivadas parciales de funciones implícitas ¿Qué es el gradiente y qué representa?

Diferencial

1) Función diferencial total

df(x,y) = (∂f/∂x)·dx + (∂f/∂y)·dy

2) Ecuación del plano tangente a la gráfica f(x,y) en el punto (x0, y0, f(x0, y0)):

z = f(x0, y0) + (∂f/∂x)·(x - x0) + (∂f/∂y)·(y - y0)

3) Incremento de altura del plano tangente:

df(x0,y0)

4) Derivadas direccionales:

Du f(X) = ∇f(X)·u

Du f(x,y) = (∂f/∂x)·cos x·u + (∂f/∂y)·cos y·u

5) Vector dirección u:

u = (u1, u2)

  • u1 = cos x·u
  • u2 = cos y·u
  • u = V/|V|

6) Máxima derivada direccional:

∇f(X0,Y0)·∇f(X0,Y0)/|∇f(X0,Y0)|

7) Máxima velocidad de crecimiento de la función:

|∇f(X0,Y0)|

8) Dirección de máxima velocidad de la función:

∇f(X0,Y0)

9) Significado geométrico del gradiente:

El gradiente de una función f(X) = f(x,y,z), diferenciable en un abierto U de ℜ³, en un punto ordinario X0, es un vector que, pensándolo aplicado en X0, resulta normal a la superficie de nivel de la f(X) que pasa por X0, o sea, a la superficie f(X) = f(X0).

10) Recta normal a una superficie f(x,y) en X0:

(x,y,z) = (x0,y0,z0) + t·∇f(x0,y0,z0)

11) Derivadas parciales de funciones implícitas:

12) Longitud de una curva:

13) En paramétricas:

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