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Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales NO homogéneas. TP01

Ecuaciones diferenciales: Solución del ejercicio n° 10 de ecuaciones diferenciales NO homogéneas. TP01

Problema n° 10 de ecuaciones diferenciales. TP01

Problema n° 10) y" + 4.y´ + 4.y = x.ex + sin x

Cálculo de las raíces:

λ² + 4.λ + 4 = 0

(λ + 2)² = 0

λ1 = λ2 = -2

La integral homogénea es:

y* = c1.e-2.x + c2.e-2.x

Cálculo de la integral particular:

y1 = a.x.ex + b.ex

y2 = a.cos x + b.sin x

Sus derivadas son:

1 = a.ex + a.x.ex + b.ex

y"1 = a.ex + a.ex + a.x.ex + b.ex
y"1 = 2.a.ex + a.x.ex + b.ex

2 = -a.sin x + b.cos x

y"2 = -a.cos x - b.sin x

La primer integral debe verificar:

y"1 + 4.y´1 + 4.y1 = x.ex

2.a.ex + a.x.ex + b.ex + 4.(a.ex + a.x.ex + b.ex) + 4.(a.x.ex + b.ex) = x.ex

2.a.ex + a.x.ex + b.ex + 4.a.ex + 4.a.x.ex + 4.b.ex + 4.a.x.ex + 4.b.ex = x.ex

2.a.ex + 4.a.ex + a.x.ex + 4.a.x.ex + 4.a.x.ex + b.ex + 4.b.ex + 4.b.ex = x.ex

6.a.ex + 9.a.x.ex + 9.b.ex = x.ex

6.a + 9.a.x + 9.b = x

9.a = 1
a = 1/9

6.a + 9.b = 0
6.(1/9) + 9.b = 0
2/3 + 9.b = 0
9.b = -2/3
b = -2/27

Una integral particular es:

y1 = x.ex/9 - 2.ex/27

La segunda integral debe verificar:

y"2 + 4.y´2 + 4.y2 = sin x

-a.cos x - b.sin x + 4.(-a.cos x + b.sin x) + 4.(a.cos x + b.sin x) = sin x

-a.cos x - b.sin x - 4.a.cos x + b.sin x + 4.a.cos x + b.sin x = sin x

(4.b + 3.a).cos x + (-4.a + 3.b).sin x = sin x

4.b + 3.a = 0
-4.b = 3.a
-4.b/3 = a

-4.a + 3.b = 1

La segunda integral es:

y2 = -4.(cos x)/25 + 3.(sen x)/25

Luego la integral general es:

y = C1.e-2.x + C2.x.e-2.x + x.ex/9 - 2.ex/27 - 4.(cos x)/25 + 3.(sen x)/25

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