Problema n° 10 de ecuaciones diferenciales.
Problema n° 10) y" + 4.y´ + 4.y = x.ex + sin x
Cálculo de las raíces:
λ² + 4.λ + 4 = 0
(λ + 2)² = 0
λ1 = λ2 = -2
La integral homogénea es:
y* = c1.e-2.x + c2.e-2.x
Cálculo de la integral particular:
y1 = a.x.ex + b.ex
y2 = a.cos x + b.sin x
Sus derivadas son:
y´1 = a.ex + a.x.ex + b.ex
y"1 = a.ex + a.ex + a.x.ex + b.ex
y"1 = 2.a.ex + a.x.ex + b.ex
y´2 = -a.sin x + b.cos x
y"2 = -a.cos x - b.sin x
La primer integral debe verificar:
y"1 + 4.y´1 + 4.y1 = x.ex
2.a.ex + a.x.ex + b.ex + 4.(a.ex + a.x.ex + b.ex) + 4.(a.x.ex + b.ex) = x.ex
2.a.ex + a.x.ex + b.ex + 4.a.ex + 4.a.x.ex + 4.b.ex + 4.a.x.ex + 4.b.ex = x.ex
2.a.ex + 4.a.ex + a.x.ex + 4.a.x.ex + 4.a.x.ex + b.ex + 4.b.ex + 4.b.ex = x.ex
6.a.ex + 9.a.x.ex + 9.b.ex = x.ex
6.a + 9.a.x + 9.b = x
9.a = 1
a = 1/9
6.a + 9.b = 0
6.(1/9) + 9.b = 0
2/3 + 9.b = 0
9.b = -2/3
b = -2/27
Una integral particular es:
y1 = x.ex/9 - 2.ex/27
La segunda integral debe verificar:
y"2 + 4.y´2 + 4.y2 = sin x
-a.cos x - b.sin x + 4.(-a.cos x + b.sin x) + 4.(a.cos x + b.sin x) = sin x
-a.cos x - b.sin x - 4.a.cos x + b.sin x + 4.a.cos x + b.sin x = sin x
(4.b + 3.a).cos x + (-4.a + 3.b).sin x = sin x
4.b + 3.a = 0
-4.b = 3.a
-4.b/3 = a
-4.a + 3.b = 1
La segunda integral es:
y2 = -4.(cos x)/25 + 3.(sen x)/25
Luego la integral general es:
y = C1.e-2.x + C2.x.e-2.x + x.ex/9 - 2.ex/27 - 4.(cos x)/25 + 3.(sen x)/25
Autor: Ricardo Santiago Netto
Ocupación: Administrador de Fisicanet
País: Argentina
Región: Buenos Aires
Ciudad: San Martín
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