Problema n° 10 de ecuaciones diferenciales.

Problema n° 10) y" + 4.y´ + 4.y = x.e^x + sin x

Cálculo de las raíces:

λ² + 4.λ + 4 = 0

(λ + 2)² = 0

λ₁ = λ₂ = -2

La integral homogénea es:

y* = c₁.e^-2.x + c₂.e^-2.x

Cálculo de la integral particular:

y₁ = a.x.e^x + b.e^x

y₂ = a.cos x + b.sin x

Sus derivadas son:

y´₁ = a.e^x + a.x.e^x + b.e^x

y"₁ = a.e^x + a.e^x + a.x.e^x + b.e^x
y"₁ = 2.a.e^x + a.x.e^x + b.e^x

y´₂ = -a.sin x + b.cos x

y"₂ = -a.cos x - b.sin x

La primer integral debe verificar:

y"₁ + 4.y´₁ + 4.y₁ = x.e^x

2.a.e^x + a.x.e^x + b.e^x + 4.(a.e^x + a.x.e^x + b.e^x) + 4.(a.x.e^x + b.e^x) = x.e^x

2.a.e^x + a.x.e^x + b.e^x + 4.a.e^x + 4.a.x.e^x + 4.b.e^x + 4.a.x.e^x + 4.b.e^x = x.e^x

2.a.e^x + 4.a.e^x + a.x.e^x + 4.a.x.e^x + 4.a.x.e^x + b.e^x + 4.b.e^x + 4.b.e^x = x.e^x

6.a.e^x + 9.a.x.e^x + 9.b.e^x = x.e^x

6.a + 9.a.x + 9.b = x

9.a = 1
a = 1/9

6.a + 9.b = 0
6.(1/9) + 9.b = 0
2/3 + 9.b = 0
9.b = -2/3
b = -2/27

Una integral particular es:

y₁ = x.e^x/9 - 2.e^x/27

La segunda integral debe verificar:

y"₂ + 4.y´₂ + 4.y₂ = sin x

-a.cos x - b.sin x + 4.(-a.cos x + b.sin x) + 4.(a.cos x + b.sin x) = sin x

-a.cos x - b.sin x - 4.a.cos x + b.sin x + 4.a.cos x + b.sin x = sin x

(4.b + 3.a).cos x + (-4.a + 3.b).sin x = sin x

4.b + 3.a = 0
-4.b = 3.a
-4.b/3 = a

-4.a + 3.b = 1

La segunda integral es:

y₂ = -4.(cos x)/25 + 3.(sen x)/25

Luego la integral general es:

y = C₁.e^-2.x + C₂.x.e^-2.x + x.e^x/9 - 2.e^x/27 - 4.(cos x)/25 + 3.(sen x)/25

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