Problema n° 13 de estadística descriptiva - TP07
Enunciado del ejercicio n° 13
Se ha estudiado la variable circunferencia basal (cm) en árboles de 5 años de edad de una especie forestal y se halló que la función de densidad f(c) = -c² + 4·c - (8/3) describía muy ajustadamente las observaciones en muchas poblaciones de la especie (1 ≤ c ≤ 2).
a. Comprobar que f(c) es una función de densidad.
b. Si se elige un árbol al azar de una población:
A) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal menor a 1,2 cm?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,7 cm?
C) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,2 cm y menor a 1,7 cm?
D) ¿Por qué las probabilidades de los puntos (A), (B) y (C) suman 1?
Solución
a)
Para que f(c) sea una función de densidad se debe cumplir que:
A.
f(c) ≥ 0 en [1; 2] y,
B.
| ∫ | 2 | f(c)·dc = 1 |
| 1 |
| ∫ | 2 | f(c)·dc = ∫ | 2 | (-c² + 4·c - 8/3)·dc = |
| 1 | 1 |
| = -∫ | 2 | c²·dc + 4·∫ | 2 | c·dc - (8/3)·∫ | 2 | dc = |
| 1 | 1 | 1 |
| = -⅓·c³ | 2 | + 4·½·c² | 2 | - (8/3)·c | 2 | = |
| 1 | 1 | 1 |
= -⅓·(8 - 1) + 2·(4 - 1) - (8/3)·(2 - 1) = 1
b)
Primero debemos determinar:
| F(χ) = ∫ | c | f(x)·dx |
| 1 |
| F(χ) = [-⅓·x + 4·½·x² - (8/3)·x] | c |
| 1 |
F(χ) = -⅓·c + 2·c² - (8/3)·c - (-⅓ + 2 - 8/3)
F(χ) = -⅓·c + 2·c² - (8/3)·c - (-1)
F(χ) = -⅓·c + 2·c² - (8/3)·c + 1; [1 ≤ χ ≤ 2];
Luego:
A.
F(1,2) = 0,104
B.
1 - F(1,7) = 1 - 0,609
1 - F(1,7) = 0,391
C.
F(1,7) - F(1,2) = 0,609 - 0,104
F(1,7) - F(1,2) = 0,505
D.
Porque abarcan todos los eventos posibles del espacio muestral.
Autor: Olga Susana Filippini. Argentina.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
Ejemplo, cómo calcular la probabilidad de que ocurra un suceso