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Guía de ejercicios resueltos de teoría de probabilidades. TP07

Probabilidades y estadísticas: Solución del ejercicio n° 13 de teoría de probabilidades. Distribución binomial y distribución normal. Problema resuelto.

Problema n° 13 de probabilidades y estadísticas.

Problema n° 13) Se ha estudiado la variable circunferencia basal [cm] en árboles de 5 años de edad de una especie forestal y se halló que la función de densidad f(c) = -c² + 4c - (8/3) describía muy ajustadamente las observaciones en muchas poblaciones de la especie (1 ≤ c≤ 2).

(a) Comprobar que f(c) es una función de densidad.

(b) Si se elige un árbol al azar de una población:

(i) ¿cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal menor a 1.2 cm?

(ii) ¿cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1.7 cm?

(iii) ¿cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1.2 cm y menor a 1.7 cm?

(iv) ¿Por qué las probabilidades de los puntos (i), (ii) y (iii) suman 1?

Solución

(a) Para que f(c) sea una función de densidad se debe cumplir que:

(i) f(c) ≥ 0 en [1;2] y, (ii) Teoría de probabilidadesƒ(c).dc = 1;

Teoría de probabilidadesƒ(c).dc = Teoría de probabilidades(-c² + 4.c - 8/3).dc = -Teoría de probabilidadesc².dc + 4.Teoría de probabilidadesc.dc - (8/3)Teoría de probabilidadesdc = |-c³/3 + 4.c²/2 - 8.c/3|²1

= -(8 - 1)/3 + 2.(4 - 1) - 8.(2 - 1)/3 = 1

(b)

Primero debemos determinar F(χ) = Teoría de probabilidades; [1 ≤ χ ≤ 2];

Luego:

(i) F(1.2) = 0.104;

(ii) 1 - F(1.7) = 1 - 0.609 = 0.391;

(iii) F(1.7) - F(1.2) = 0.609 - 0.104 = 0.505;

(iv) porque abarcan todos los eventos posibles del espacio muestral.

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