Modelos de examen

Modelo de Final para Algebra

Problema n° 1) Sean: S1 = {x ∈ ℜ³ : x-y + z = 0} S2 = {x ∈ ℜ³ : x = y}

Hallar, si es posible, una transformación ortogonal T: ℜ³ → ℜ³ tal que (T(S₁))ˆS₂

Problema n° 2) Sea P₂ el conjunto de polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2 y T: P2 → P2

definida por

T(a₀ + a₁t + a₂t²) = (a₀ + 2a₁ + ca₂) + a₁t + (4a₁ + 3a₂)t²

Hallar los valores de c para los cuales existe una base de P₂ tal que la matriz de T en esa base es diagonal

Problema n° 3) Sea V un R espacio vectorial con producto interno. Probar que si x e y son vectores ortogonales de V, entonces para todo α ∈ R

||αx - y || ≥ ||y ||

Es cierto que si α ≥ o entonces ||αx - y || ≥ ||x ||? justificar

Problema n° 4) Sean S y T dos endosmorfismos de un espacio vectorial V tales que ST = TS,

Probar que los subespacios Nu(S) e Im(S) son invariantes por T

Problema n° 5) Resolver la siguiente ecuación

(x-1)²y·dx + x²(y + 1)·dy = 0

Modelo de Final para Algebra

Problema n° 1) Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K de dimensiones n y m respectivamente y sea F: V → W una transformación lineal:

1. Probar que F es inyectiva ⇔ existe: G: W → V tal que GoF = Idv
2. Que puede decirse si F es sobreyectiva?

Problema n° 2) Sea L: P₂ → ℜ³ definida por

L(1 + x + x²) = (2, 0, 1)  L(1 + x²) = (3, 1, 0)  L(x + x²) = (1, -2, 3)

1. Hallar la matriz de L respecto de las bases {1, x, x2} y la canónica de R3
2. ¿Es posible hallar un polinomio P tal que L(P) = (1, 0, 0)? ¿Es único? Justificar
3. ¿Existen bases B1 de P2 y B2 de R3 tal que la matriz de L en esas bases sea la identidad?
4. Justificar

Problema n° 3) Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y T: V → V una transformación lineal tal que T² = T,

demostrar que:

1. Todo vector no nulo de la imagen es autovector.
2. T es diagonalizable
3. ¿Cuánto vale la tr T ¿ ¿ Que forma puede tener la matriz diagonal de T?

Problema n° 4) Hallar, si es posible, una transformación simétrica T: ℜ³ → ℜ³ tal que:

ImT = {x ∈ ℜ³: x + y - z = 0} y tr T = 4

Problema n° 5) Resolver (e^²·y - y·cos (x·y))·dx + (2·x·e^²·y - x·cos (x·y) + 2·y)·dy = 0