Modelos de examen parcial de Análisis Matemático II.
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema n° 1
Dada la función f:ℜ ⟶ ℜ; f(x) = 3·x³ + 2·x determinar todos los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (-2, f(-2)) y (1,f(1)).
Problema n° 2
Calcular el límite de la siguiente sucesión:
xn = | ln (e3·n - 1) |
| an |
Donde se sabe que:
| lim n ⟶ ∞ | an | = 3 |
| n |
Problema n° 3
Calcular la siguiente integral con un error menor que 0,001:
| ∫ | 1 | x4 1 + (½·x)4 | ·dx |
| 0 |
Problema n° 4
Determinar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente:
| ∞ ∑ n = 1 | in 2·n | ·xn |
| n |
Problema n° 5
Calcular los siguientes límites:
| a) | lim x ⟶ 0 y ⟶ 0 | ex·(y + 1) - x - 1 |
| |2·x - y| |
| b) | lim x ⟶ 0 y ⟶ 0 | x·y² + y³ |
| 3·x² + y² |
Problema n° 6
Justifique la respuesta de cada ejercicio.
| Ej 1 | Ej 2 | Ej 3 | Ej 4 | Ej 5 |
| a b |
Problema n° 7
Analizar la convergencia:
| ∫ | +∞ | x² + 1 √x + x4 | ·dx |
| 0 |
| ∫ | +∞ | x + 1 ∛x + x³ | ·dx |
| 0 |
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema n° 1
Decida cual de las siguientes afirmaciones es verdadera y cual falsa. (La verdadera pruébela y para la falsa, dé un contraejemplo).
Afirmación 1) Si f:ℜ ⟶ ℜ es una función contínua y acotada entonces existe por lo menos un punto x0 ⊂ ℜ tal que f(x0) = x0
Afirmación 2) Si f:ℜ ⟶ ℜ es una función contínua y acotada entonces existe una cantidad finita de puntos x1, x2, …, xn tales que f(x1) = x1
Problema n° 2
Hallar todos los números reales p > 0 tales que la siguiente integral resulte convergente.
| ∫ | +∞ | 1 x·lnp 3·x | ·dx |
| 1 |
Problema n° 3
Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10³
| ∫ | 1 | e3·x - 1 x | ·dx |
| 0 |
Problema n° 4
Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.
| ∞ ∑ n = 1 | [sen (1/n)]²·(2·xn) |
Problema n° 5
Sea f(x) = x·cos x + sen x/3.
a) Hallar la serie de Taylor centrada en 0 de la función f(x)
b) Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la serie hallada en (i) coincida con f(x)
c) Hallar fn(0), n ⊂ N
Problema n° 6
Hallar todos los números reales a > 0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²
| f(x, y) = | xa·y | Si | (x, y) ≠ (0, 0) | |
| x4 + y² | ||||
| 0 | Si | (x, y) = (0, 0) |
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema n° 1
Calcular el límite de la siguiente sucesión.
| an = | n√(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)…(2·n - 1)·2·n |
| n |
Problema n° 2
Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia.
| ∫ | +∞ | x √1 + x5 | ·dx |
| 0 |
Problema n° 3
Hallar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente.
| ∞ ∑ n = 1 | xn |
| n + √n |
Problema n° 4
Calcular el valor de la siguiente integral con error < 10-5
| ∫ | 1 | e-½·x²·dx |
| 0 |
Problema n° 5
Dada la función f:D ⊂ ℜ² ⟶ ℜ definida por:
f(x, y) = x·y·(sen 1/x)·(sen 1/y)
a) Calcular D
b) Redefinirla, si es posible, de modo tal que resulte contínua en todo ℜ²
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema n° 1
Calcular el siguiente límite:
| lim n ⟶ ∞ | (1 + sen | 4 | )cotg 1/n |
| n |
Problema n° 2
Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:
| ∫ | +∞ | 1 √x·(1 + x) | ·dx |
| 0 |
Problema n° 3
Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10-3
| ∫ | -1 | e-x - 1 + x x² | ·dx |
| 0 |
Problema n° 4
Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.
| ∞ ∑ n = 0 | (-3)n·xn |
| √n² + 3 |
Problema n° 5
Hallar todos los números reales a > 0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²
| f(x, y) = | |x|a·y/(x6 + y4) | Si | (x, y) ≠ (0, 0) |
| 0 | (x, y) = (0, 0) |
Problema n° 6
Justifique todo.
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema n° 1
Probar que:
1 + x/2 - x²/8 < √1 + x < 1 + x/2 para x > 0.
Problema n° 2
Calcular el radio de convergencia y estudiar el comportamiento en el borde de la región de convergencia de la siguiente serie de potencias:
| ∞ ∑ n = 2 | xn |
| n·(ln n)³ |
Problema n° 3
Probar que:
| ∞ ∑ n = 2 | [ | 5n + 1 | + | (-1)n | ] |
| 32·n + 3 | n·5n |
Es convergente y calcular su suma con error menor que 10-3
Problema n° 4
Sea f:ℜ ⟶ ℜ una función que verifica que f(0) = -9 y f'(x) ≥ (x² - 9), ∀ x ⊂ ℜ. Probar que existe t > 0 tal que f(t) = 0.
Problema n° 5
Analizar la convergencia de:
| ∫ | 3 | 1 √x - 2 + sen² (x - 2) | ·dx |
| 2 |
Problema n° 6
Justifique la respuesta de cada ejercicio
Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
Serie de Taylor, análisis de convergencia.